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速率

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速率
汽車行駛一段路程除以所需時間為它的平均速率。
常見符號
v
国际单位m/s, m s−1
因次

速率(英語:Speed)是物理學中的一個基本概念,是指物體在單位時間内經過的路程,用來表示物體運動的快慢程度。

在日常生活中,「速率」和「速度」(Velocity)混用,但两者在物理学中对应着不同的概念:速率是一个标量(只有大小、没有方向),它的量纲是路程除以时间;速度是一个向量(有方向),它的量纲是位移除以时间[1]。物体的瞬时速率等于瞬时速度的大小,而平均速率则不一定等于平均速度的大小。

国际单位制中,速率的單位為米每秒(m/s),但日常生活中較常用的單位是公里每小時(km/h)或是英制系統下的英里每小時(mph)。海上船只或物体的行進速率,一般會使用作為單位。

依照狭义相对论,能量或信息所能傳遞的最快速率為真空中的光速c = 299,792,458 米每秒,大約是1,080,000,000千米每小时或671,000,000英里每小時。静止质量不为零的物質要加速到此速率,需要無限大的能量。在相對論物理學中,會用快度來取代古典力學中的速度[2]

定義

用数学语言来描述,如果一个物体在一段时间内移动的路程为,那么它的平均速率(用表示)便是的比,具体可由下式给出:

例如,一辆汽车在2小时内行驶了60公里,它在这段时间内的平均速率是30公里每小时。而一个物体在某个时刻的速率,则是它在这个时刻前后的一段极短时间中经过的路程与这段时间长度的比:

精确地说,假设路程是一个关于时间的函数,那么物体在某个时刻瞬时速率,是以上比值在趋向于0时的极限值。或者说,是时刻对时间的导数

在某些简化的物理模型中,物体在某个时刻之前的速率可能不等于其之后的速率

比如简单的碰撞模型中的碰撞前速率和碰撞后速率。但在经典物理学中,总假设物体的路程,以及瞬时速度和瞬时速率都是连续变化的。简化模型中出现不连续的速率是忽略了极短时间内速率变化的结果。

物体的瞬时速率等于其瞬时速度的大小。然而,物体的平均速率一般不等于其平均速度的大小[3]。盖因路程和位移的概念不同。例如一个物体做匀速圆周运动一周,则其平均速率为一个不为零的定值,但其平均速度是0。

例子

瞬時速率

車輛上的速度表可以顯示任何时刻的瞬時速率[4]p.42。瞬時速率可能會隨時間而變動,一辆車在某个时刻的瞬時速率50公里/小時,但它維持此速率的時間可以是一秒、一分钟或一小时。不过假若此车連續一小時以50公里/小時的(瞬时)速率行驶,則它所走路程為50公里。

平均速率

如果一辆車在一小時內行驶了80公里,則它在这一个小时中的平均速率為80公里/小時;若一辆車在第一个小時內行驶了140公里,在接下来的三个小时中行驶了180公里,則它在这四小时内的平均速率也是80公里/小時。但若分别考慮此車第一个小時以及其后三个小時内的平均速率,其數值就不是80公里/小時了。

平均速率可能會和過程中的瞬時速率有相當的差異[4]p.42。若已知平均速率和時間,可以求得這段時間所走的路程:

依上述公式可得,若一辆車行驶了四小時,這四小時的平均速率為80公里/小時,則它在四个小时中行驶的總路程為320公里。

若以圖像的方式,可以利用路程-時間圖来显示速率。路程-時間圖上的曲线表示了物体移动的路程是如何随时间变化的。曲线上任意一點对应着一个时刻和物体在这一时刻移动的路程。曲线在一点上切線斜率即為此时刻的瞬時速率,而曲线上两點的割线斜率即為对应的二个时刻之間的平均速率。

切線速率

物体在单位时间内经历的路程,是为速率或线速率,而如果物体在做圆周运动,那么它的速率也称为切线速率[4]p.131,因为它运动的方向是沿着圆周的切线方向。旋转木马转一圈时,位置靠外的木马走过的路程比位置靠内的木马要多。这说明位置靠外的木马平均速率比位置靠内的木马要大。 對於圓周運動的物體而言,切線速率及線速率二者可互換使用,二者的單位均為m/s或km/h。

轉速或角速率是指單位時間内轉的圈數。旋转木马中,不同位置的木马切線速率可能不同,但所有木马在相同時間內都旋轉了相同的圈數,因此其角速率均相同。轉速一般以每分鐘轉速或是以單位時間的弧度作为单位。旋轉一圈的弧度略大於6個弧度(精確值為弧度)。若將角速率加上方向,則成為角速度,前者為一純量,後者則為一向量。若两片CD每秒都旋轉20圈,一片順時針旋轉,另一片逆時針旋轉,那么二者的角速率相同,但角速度不同。

圆周运动的物体(或距旋轉軸固定距離的一點),其切線速率和轉速成正比[4]p.131。不過切線速率和轉速不同,一點的切線速率和距旋轉軸的距離有關,距旋轉軸不同距離的二點,其轉速相等,但切线速率不相等。旋轉軸上的点,其切線速率甚至為零。在一旋轉的物體上,離旋轉軸越遠,會發現线速率越快。若轉速固定,则切線速率和一點距旋轉軸的距離成正比[4]p.132,因此可得下式:

其中

v為切線速率
ω為轉速
r為距旋轉軸的距離

因此只要轉速變快或是距旋轉軸的距離變長,都會使切線速度變快。

若切線速率、轉速及距離選擇適當的單位(例如切線速率單位選擇m/s,轉速單位選擇弧度/s,距離單位選擇m),上式的比例關係可以變成以下的等式:

因此,一個系統只要所有部份的角速度相同,其切線速度只和距旋轉軸的距離有關。(上述切線速度和距離的比例關係不適用於行星的運轉,因為行星在不同位置的角速度不同)

单位

速率的单位包括:

速率各单位间重要的换算关系包括:

常見速率單位之間的轉換
m/s km/h mph ft/s
1 m/s = 1 3.6 2.236936 1.943844 3.280840
1 km/h = 0.277778 1 0.621371 0.539957 0.911344
1 mph = 0.44704 1.609344 1 0.868976 1.466667
1 節 = 0.514444 1.852 1.150779 1 1.687810
1 ft/s = 0.3048 1.09728 0.681818 0.592484 1

粗體字的數值是精確值)

不同速率的例子

速率 m/s ft/s km/h mph 註解
大陸飄移的平均速率 0.00000001 0.00000003 0.00000004 0.00000002 4厘米/年,速率依位置而異
普通蜗牛的速率 0.001 0.003 0.004 0.002 1毫米每秒
轻快地步行 1.7 5.5 6 4
奥林匹克短跑选手(100米内的平均速率) 10 32.8 36 22
大部份郊區道路的速限 13.8 45.3 50 30
台北101观光电梯 16.7 54.8 60.6 37.6 1,010 m/min[5]
香港巴士的最高運行速率 20 65.6 72 44.7
一般鄉間道路的速限 24.6 80.66 88.5 56
萨菲尔-辛普森飓风等级的一級颶風 33 108 119 74 一分鐘平均風速需大於此數值
法国高速公路限速 36.1 118 130[6] 81
人力驅動的最快速度 37.02 121.5 133.2 82.8 加拿大自行車手Sam Whittingham利用斜躺腳踏車英语recumbent bicycle創下的記錄[7]
漆彈槍的槍口初速 90 295 320 200
波音747-8巡航速率 255 836 917 570 0.85马赫
陸上速度記錄 341.1 1119.1 1227.98 763 超音速推進號在1997年10月15日創下[8]
在海平面大气压、20°C(293开尔文)的干燥空气中的声速 343 1,125 1,235 768 由定义=1马赫
AK-47突擊步槍槍口初速 710 2,330 2,600 1600
正式的飞行速度记录 980 3,215 3,530 2,194 SR-71黑鳥式偵察機在1976年7月28日創下[9]
航天飞机返回地球時的速率 7,800 25,600 28,000 17,500
相對於地球的逃逸速度 11,200 36,700 40,000 25,000 地表的逃逸速度為11.2 km/s[10]
地球的平均公转速率 29,783 97,713 107,218 66,623
真空中的光速(符号c 299,792,458 983,571,056 1,079,252,848 670,616,629

参见

参考资料

  1. ^ 速度、速率及加速度. 台灣師範大學物理系. [2013-10-12]. (原始内容存档于2021-05-05). 
  2. ^ Rapidity and invariant cross sections - Phenix - Brookhaven National (PDF). [2013-10-12]. (原始内容 (PDF)存档于2021-04-04). 
  3. ^ 平均速度. 台灣長庚大學. 2005-07-28 [2013-10-12]. (原始内容存档于2013-10-15). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 4.4 Paul G. Hewitt. Conceptual Physics. Pearson Addison Wesley. 2006. ISBN 0805393757. 
  5. ^ 中国电梯行业大事简记. 上海勒邦電梯. 2009-05-19 [2013-10-12]. (原始内容存档于2013-10-14). 
  6. ^ 法国开车初体验. 旭途旅遊. [2013-10-12]. (原始内容存档于2021-04-04). 
  7. ^ The Recumbent Bicycle and Human Powered Vehicle Information Center. Wisil.recumbents.com. [2013-10-12]. (原始内容存档于2013-08-11). 
  8. ^ Thrust SSC Run database, [2013-10-12], (原始内容存档于2020-02-16) 
  9. ^ 大陸新聞中心. 軍武/「黑鳥」如影隨形 比子彈還快的飛機報你知. 明日報 (今日傳媒公司). 2013-02-02 [2013-10-12]. (原始内容存档于2020-02-16). 
  10. ^ 宇宙航行. Rc.k12.com.cn. [2013-10-12]. (原始内容存档于2021-04-04). 

外部链接