2:20时指针之间的角度关系
时钟问题(又称钟表问题)是一类与时钟有关的数学问题。这类题常见于中国大陆小学奥林匹克数学,以及中国国家公务员考试中。[1]
概述
求解这类型题的关键在于找到时间与角之间的关系。解题中角一般用角度制表示,时间使用十二小时制。求解技巧有列方程、使用追及问题模型等[2]。
公式
时针在12小时内转过1周(360°),故时针1小时转30°,1分钟转0.5°。分针1小时转360°,故1分钟转6°。由此可以推出以下公式:
当时间为H时M分时,时针与12点钟方向夹角的角度数(
)为:
![{\displaystyle \theta _{\text{hr}}={\frac {1}{2}}(60H+M)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a62f9909c76599a980a43517cfb49e06bea45638)
分针与12点钟方向夹角的角度数(
)为:
![{\displaystyle \theta _{\text{min.}}=6M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe770c24dac1b715647f3a9974583c2576116662)
时针与分针之间的夹角为:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \theta &=\left|\theta _{\text{hr}}-\theta _{\text{min.}}\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H+M)-6M\right|\\&=\left|{\frac {1}{2}}(60H-11M)\right|\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e9f8aaf8a92c14d91b14cbeb9a728252d42b14)
例题
2:00到3:00之间,哪一时刻时针与分针重合?
解:当且仅当
时,时针与分针重合。依公式有,
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}(60H+M)&=6M\\11M&=60H\\M&={\frac {60}{11}}H\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e890f2a171c895a37f9cdd527ce0b76839d4c9f1)
代入
,得
。即2时
分,时针与分针重合。
参见
参考文献
- ^ 柳淑贤, 郭红. 用初中数学方程方法巧解时钟问题. 新课程(上). 2011, (7): 140.
- ^ 姚卿传. 时钟问题和追及关系. 数理天地(初中版). 2008, (11): 45.