平面刚体运动

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平面刚体运动，是一种在平面上进行的几何变换.反射变换和旋转变换等几何变换都有一个共同特点，即所谓“保距性”.也就是说，对于平面内任意两点P、Q，在反射（或某种几何变换）下对应的点是P'和Q'，那么P'到Q'的距离，就等于PQ的距离.借用物理学上的刚体一词，我们把这种变换叫做：平面刚体运动.

定义

设α是一个平面，映射

m:平面α→平面α

是一个一一映射，若m保持平面α内任意两点间的距离不变，则称m是一个平面刚体运动.[1]

解释

下面我们对上述定义做一个简单解释.任意一个平面刚体运动m:平面α→平面α都满足以下4条：

  1. 对于平面α内的任意一点P，在平面α内存在唯一的一点P'与之对应，记作P'=m(P)，P'叫做P在m作用下的象；
  2. 任取平面α内的一点P'，存在平面α内的唯一一点P，使得P'是P在变换m作用下的象；
  3. 任取平面α内的两点P1、P2，如果P1≠P2，那么它们的象也是不同的，即：m(P1)≠m(P2);
  4. 任取平面α内的两点P、Q，它们在m下的象是P'和Q'，即：P'=m(P)，Q'=m(Q)，那么|P'Q'|=|PQ|，即点P'，Q'之间的距离与点P，Q之间的距离相等.

平移、旋转、反射是三种最常见的平面刚体运动.[2]

性质

保持距离不变是m的一个很强的性质。通过这一性质我们可以证明：只要知道不共线的三点A，B，C在m下的象A'，B'，C'，m就完全确定下来了

命题1

平面刚体运动

m:平面α→平面α

将平面α内的直线映射成直线，射线映射成射线，线段映射成等长的线段。

证明：令l是平面α内的任意一条直线，设m把l上所有的点映到点集l'.在l上任取两点A，B，设m把它们分别映射到A'，B'.下面证明l'是过A'，B'的直线.在AB上任取一点C，设m把点C映射到点C'.

  1. 当点C在AB之间时，由平面刚体运动的定义得：|A'C'|+|CB|=|AC|+|CB|=|AB|=|A'B'|，所以点C'在线段A'B'上.
  2. 当点C在AB的延长线上时，我们有：|A'B'|+|B'C'|=|AB|+|BC|=|AC|=|A'C'|，所以B'在线段A'C'上，即点C'在线段A'B'的延长线上.
  3. 同理可证，当点C在BA的延长线上时，点C'在线段B'A'的延长线上.

综上所述，由点A，B，C的任意性可知，l'是一条直线

证毕.[3]

命题2

三角形在平面刚体运动的作用下，形状和大小都保持不变.

证明：设△ABC是平面α内的任意一个三角形，由已证明题可知，平面刚体运动

m:平面α→平面α

把线段AB，BC，AC依次映射成线段A'B'，B'C'，A'C'，而且AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'.

由于AB+BC>AC，故A'B'+B'C'>A'C'，所以AB，BC，CA，构成了一个以A，B，C为顶点的三角形，而且△ABC与△ABC全等.

证毕.

用类似的方法可证得：在平面刚体运动m的作用下，正n边形的大小和形状都保持不变.

特殊

设

m:平面α→平面α

是一个平面刚体运动，若在平面α内至少存在一个点O，点O在m的作用下保持不动，即m(O)=O，我们称m为有不动点的平面刚体运动.可以证明：只有反射变换和旋转变换是有不动点的平面刚体变换.[4]

参考资料

  1. ^ 张英伯; 宋莉莉. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 6. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  2. ^ 张英伯; 宋莉莉. 平面刚体的对称群. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 7. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  3. ^ 张英伯; 宋莉莉. 平面刚体的对称群. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 8. ISBN 978-7-107-18021-7. 
  4. ^ 张英伯; 宋莉莉. 附录二. 对称与群. 人民教育出版社. 2007: 49. ISBN 978-7-107-18021-7. 
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