帕普斯面積定理
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帕普斯面積定理(英語:Pappus's area theorem)描述為連接任意三角形三邊形成三個平行四邊形區域之間的關係。該定理也可以被認為是畢氏定理的推廣,以發現者希臘數學家帕普斯命名。
定理
給定任意三角形,其兩個任意平行四邊形連接到其任意兩側,該定理描述在第三側產生平行四邊形,使得第三個平行四邊形的面積等於其他兩個平行四邊形的面積之和。
設為任意三角形,ABDE與ACFG是連接到三角形邊AB與AC的兩個任意平行四邊形。延長的平行四邊形邊DE與FG在H點處相交。線段AH現在「變成」連接到三角形邊BC的第三平行四邊形BCLM的邊,即在BC上產生線段BL與CM,使得BL與CM互相平行並且其長度等於AH。以下表示為平行四邊形的面積:
該定理從兩方面推廣了畢氏定理。首先它適用於任意三角形,而不僅適用於直角三角形,其次它使用平行四邊形而非正方形。對於任意三角形兩側的正方形,在第三側產生相等面積的平行四邊形,如果兩側為平行四邊形直角的直角邊,則第三側(斜邊)的平行四邊形也是正方形。對於直角三角形,連接到直角腿的兩個平行四邊形在第三側產生相等面積的矩形,並且如果兩個平行四邊形是正方形,那麼第三側上的矩形也將是正方形。
證明
由於具有相同的基本長度與高度,平行四邊形ABDE與ABUH具有相同的面積,相同的參數適用於平行四邊形ACFG與ACVH、ABUH與BLQR、ACVH與RCMQ。 這已經產生了預期的結果,如下:
參考資料
- Howard Eves. Pappus's Extension of the Pythagorean Theorem. The Mathematics Teacher. 1958-11, 51 (7): 544–546. JSTOR 27955752. (原始内容存档于2019-09-22).
- Howard Eves. Great Moments in Mathematics (before 1650). Mathematical Association of America. 1983: 37. ISBN 9780883853108.
- Eli Maor. The Pythagorean Theorem: A 4,000-year History. Princeton University Press. 2007: 58–59 [2022-02-16]. ISBN 9780691125268. (原始内容存档于2020-07-01).
- Claudi Alsina; Roger B. Nelsen. Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA. 2010: 77–78. ISBN 9780883853481.