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希钦系统

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数学中,希钦可积系统奈杰尔·希钦 (1987)提出的一类可积系统,取决于复约化群黎曼曲面的选择。希钦系统是代数几何李群理论和可积系统理论的交叉,通过共形场论,还在复数域上的几何朗兰兹对应中发挥重要作用。

希钦系统的0亏格类似物是卡尼尔可积系统,是勒内·卡尼尔发现的Schlesinger方程的某个极限,通过定义谱曲线解决了他的系统(卡尼尔系统是高丹模型的经典极限。Schlesinger方程是克尼日尼克–扎莫洛奇科夫方程的经典极限)。

几乎所有经典力学的可积系统都可作为希钦系统或Bottacin & Markman (1994)的通用推广的特例。

描述

用代数几何的语言来说,系统的相空间是某紧代数曲线上,余切丛到某约化群G稳定G模空间的部分紧化。这个空间被赋予了规范辛形式。简单起见,假设一般线性群,则哈密顿量可以描述如下:G丛的模空间在丛F处的切空间

根据塞雷对偶性,对偶于

其中K规范丛,于是

称作希钦对或希格斯丛,定义了余切丛中的点。取

就可得

中的元素,这是个不依赖于的向量空间。因此,在这些向量空间中任取基,就能得到函数,这就是希钦哈密顿量。一般约化群的构造与此类似,用的是G李代数上的不变多项式。

由于平凡的原因,这些函数在代数上是独立的,一些计算表明它们的数量恰是相空间维数的一半。非平凡部分是证明函数的泊松交换性。因此,它们定义了辛或刘维尔–阿诺德定理意义上的可积系统。

希钦纤维化

希钦纤维化是从希钦对的模空间到特征多项式的映射,是卡尼尔用于定义谱曲线的映射的高亏格类似物。Ngô (2006, 2010在证明朗兰兹纲领基本引理时使用了有限域上的希钦纤维化。

另见

参考文献