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佩服數

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古氏積木演示的佩服數12

數論中,佩服數(英文:Admirable numbers),是指若一個正整數除了本身外之所有的因數[註 1],存在一個因數,將其他不是本身、不是的因數相加後,再,若等於本身,我們就稱它為「佩服數」。換句話說佩服數是計算一數的因數和,但其中一個因數是以相反數和其他因數相加,得到的值是自己本身的數。有這種性質的數雖未如完全數一般的完美,但仍被形容為「令人敬佩的」[1]

所有大於3的質數6倍都是佩服數[1][註 2],因此佩服數有無窮多個。

定義

一個正整數除了本身外之所有因數,存在一個因數,將其他不是本身、不是的因數相加後,再,若等於本身,我們就稱它為佩服數。

例如12因數12346、12。其中存在一個因數2,使得[2],同時,12也是最小的佩服數[1]

更为严格地说,佩服數是指使得公式成立的正整数,其中σ指的是因数和函数,即的所有正因数(包括其本身n)之和。是n的其中一個因數

例如20的因數有12451020,其因数和函数的結果為,存在一個因數1,使得,所以20可稱為佩服數。

佩服數是過剩數的一個子集,換句話說所有佩服數都是過剩數[3]

例子

最小的一些佩服數是:

12202430404254566670788488102104114120138140174186222224234246258270282308318、 354 ……(OEIS數列A111592

以上列出的佩服數都是偶数。最小的奇佩服數945[4],同時最小的奇過剩數奇半完全數[5]也是945

前幾個奇佩服數是:

945、4095、6435、7425、8415、8925、9555、26145、28035、30555、31815、32445、43065、46035、78975、80535、81081、103455、129195 ……(OEIS數列A109729

連續的佩服數[註 3]比連續的過剩數還要少。在1012以下,只有兩組連續佩服數,分別是(29691198404, 29691198405)和(478012798575, 478012798576)[1]

佩服數的分布並不像過剩數那樣,過剩數有著非零的自然密度[6],而佩服數的成長率非線性的,例如小於100的佩服數有13個、小於1,000的佩服數有65個、小於10,000的佩服數有379個(OEIS數列A109727),其密度隨著數字尺度變大而逐漸減少。

所有大於3的質數的六倍都是佩服數[1][註 2],更精確地說,所有的質數質因數不含該質數之完全數的乘積都是佩服數[註 4]

相關的數列

盈完全數

有一種與佩服數類似但不太一樣的定義:一個正整數除了本身外之所有因數中,存在一個因數,將其他不是本身的因數相加後,再,等於本身。有這些性質的前幾個數有:

1218202440、56、88、104、120、196、224、234、368、464、650、672、992、1504、……(OEIS數列A153501

例如18的因數有1236918有一個因數3,使得

有這種性質的數最小的奇數是173369889[7],同時也是最小的奇擬完全數(OEIS數列A181595[8],但不是佩服數。

特別的,這些數字正好與盈完全數(Abundant-perfect numbers)重疊,盈完全數的定義為:自己的因數和(不包含自己)減去自己得到的數可以整除自己。

符合這種定義的數未必是佩服數,例如18雖然符合這種定義,但並未符合佩服數的定義[9],因此18不是佩服數[註 5]

相容數

薩克斯參考了親和數的定義,定義了一個新的数叫做相容數(compatible numbers),其定義為有一對數字N和M,分別各存在一個因數dN和dM,N將其他不是本身、不是dN的因數相加後,再掉dN,得到M、而M將其他不是本身、不是dM的因數相加後,再掉dM,得到N。

例如30和40[9]

30:2 + 3 + 5 + 6 + 10 + 15 - 1 = 40
40:1 + 2 + 4 + 5 + 8 + 20 - 10 = 30

前幾對相容數是:

(24, 28)、 (30, 40)、 (40, 42)、 (42, 52)、 (48, 60)、 (60, 96)、 (80, 102)、 (80, 104)、……(OEIS數列A109797)和(OEIS數列A109798

虧完全數

有一種與佩服數類似但相反的定義:若一個正整數除了本身外之所有因數,存在一個因數d',將其他不是本身的因數相加後,再上d',等於本身。有這些性質的前幾個數有:

2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、……[註 6]

例如10的因數有12510有一個因數2,使得

特別的,這些數字正好與虧完全數(Deficient-perfect numbers)重疊,虧完全數的定義為:自己減去自己的因數和(不包含自己)得到的數可以整除自己[10][11],在這個定義中1也符合,因為1不含自己的因數和是0,1減去零是1,當然可以整除1。

最小的幾個虧完全數是:

1、2、4、8、10、16、32、44、64、128、136、152、184、256、512、752、884、1024、2048、2144、2272、……(OEIS數列A271816

所有二的乘冪都是虧完全數[註 7],除了二的乘冪之外的虧完全數有:

10、44、136、152、184、752、884、2144、2272、2528、8384、12224、17176、18632、18904、32896、33664、……(OEIS數列A060326

楚姆克勒數

楚姆克勒數(Zumkeller numbers)是指因數可以分為相同總和的兩組數字。例如48的因數可以分為兩組:{1, 3, 4, 6, 8, 16, 24}和{2, 12, 48},其中1 + 3 + 4 + 6 + 8 + 16 + 24 = 2 + 12 + 48,因此48是一個楚姆克勒數[13]

所有佩服數都是楚姆克勒數,因為佩服數中的相減因數(即其他因數和減去此因數會等於本身的那個因數)以外的因數存在一個因數,其與佩服數中的相減因數相加後會等於其他因數之和。

前幾個楚姆克勒數是:

6、 12、 20、 24、 28、 30、 40、 42、 48、 54、 56、 60、 66、 70、 78、 80、 84、 88、 90、 96、 102、 104、 108、 112、……(OEIS數列A083207

参见

註釋

  1. ^ 為方便說明,本條目中的「因數」一律指正因數。
  2. ^ 2.0 2.1 假設p是一個大於3的質數,則6p可因數分解為,因此6p共有8個因數,分別為:1、2、3、6、p、2p、3p、6p,當中存在一個因數6,使得本身,因此對所有大於3的質數都是佩服數
  3. ^ 指兩個相鄰的整數都是佩服數的情況
  4. ^ 假設p是一個大於3的質數、q是一個完全數,則的因數包含所有q的因數和所有q與p的乘積,已知q的因數和為2q,因此的所有正因數和為,不含本身的因數和為,因此當中存在一個因數q使得其不包括q的因數和減去q等於本身,因此對所有大於3的質數p,都是佩服數
  5. ^ 18的因數有1,2,3,6,9,18,假設d'為1,得,非18;假設d'為2,得,非18;假設d'為3,得,非18;假設d'為6,得,非18;假設d'為9,得,非18;假設d'為18,得,非18。因此18不存在因數d',將其他不是本身、不是d'的因數相加後,再掉d',能等於本身,因此18不是佩服數[9]
  6. ^ 該數列未被整數數列線上大全收錄。
  7. ^ 二的乘冪的因數基本上是低於該數的所有二的乘冪,例如64的因數為1、2、4、8、16、32、64,為小於等於64的所有二的乘冪,因此根據二的乘冪級數的性質[12],將不是本身的因數相加相當於從1到乘冪少1的二乘冪級數之和因此必等於本身減一,而1為所有自然數的因數,因此二的乘冪必定會是虧完全數。

參考文獻

  1. J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The ARITHMETIC TEACHER, October 1960. pp. 293-5
  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 admirable numbers. numbers aplenty. [2016-08-28]. (原始内容存档于2017-06-03). 
  2. ^ J. M. Sachs. Admirable Numbers and Compatible Pairs. The Arithmetic Teacher (National Council of Teachers of Mathematics). 1960年10月, 7 (6): 293–295 [2016-08-28]. (原始内容存档于2019-08-12). 
  3. ^ Admirable numbers. oeis.org. [2011-07-13]. (原始内容存档于2022-05-11). All admirable numbers are abundant 
  4. ^ 佩服數列表. 整數數列線上大全. [2011-07-13]. (原始内容存档于2021-02-26). 
  5. ^ Guy, Richard K. Unsolved Problems in Number Theory. Springer-Verlag. 2004. ISBN 0-387-20860-7. OCLC 54611248. Zbl 1058.11001.  Section B2. pp.75
  6. ^ Hall, Richard R.; Tenenbaum, Gérald. Divisors. Cambridge Tracts in Mathematics 90. Cambridge: Cambridge University Press. 1988: 95. ISBN 0-521-34056-X. Zbl 0653.10001. 
  7. ^ Donovan Johnson. A153501:COMMENTS. 整數數列線上大全. [2016-08-30]. (原始内容存档于2021-11-21). 
  8. ^ V Shevelev. On perfect and near-perfect numbers (PDF). arxiv.org. [2016-08-30]. (原始内容存档 (PDF)于2019-11-09). 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 T. Trotter. Admirable Numbers. trotter math. [2011年7月13日]. (原始内容存档于2010年11月30日). 
  10. ^ M. Tang, X. Z. Ren, M. Li, On Near-Perfect and Deficient-Perfect Numbers, Colloq. Math. 133 (2013), 221-226.
  11. ^ M. Tang and M. Feng, On Deficient-Perfect Numbers, Bull. Aust. Math. Soc. 90 (2014), 186-194.
  12. ^ The sum of the powers of two from 20 up to 2(n - 1) is (2^n) - 1. c2.com. [2016-08-30]. (原始内容存档于2016-09-18). 
  13. ^ Sloane, N.J.A. (编). Sequence A083207 (Zumkeller or integer-perfect numbers). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 

外部連結