示波器上的利萨茹图形
三维利萨茹图形
数学上,利萨茹(Lissajous)曲线(又称利萨茹图形、李萨如图形或鲍迪奇(Bowditch)曲线)是两个沿着互相垂直方向的正弦振动的合成的轨迹。
纳撒尼尔·鲍迪奇在1815年首先研究这一族曲线,朱尔·利萨茹在1857年作更详细研究。
数学定义
利萨茹曲线由以下参数方程定义:
![{\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=a\sin(\theta )\\y(\theta )=b\sin(n\theta +\phi )\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df762f1f214669a9cdb54729a4e03abfb138184a)
其中
,
。
称为曲线的参数,是两个正弦振动的频率比。若比例为有理数,则
,参数方程可以写作:
,
其中
。
性质
- 若
为无理数,曲线在长方形
中稠密。
- 若
为有理数,
- 曲线是
次代数曲线若
对奇数
,或
对偶数
。
- 曲线是
次代数曲线的一部份若
对奇数
,或
对偶数
。
- 若
为偶数而
,或若
为奇数而
,则曲线是第
个切比雪夫多项式
的曲线的一部份。
特别情况
- 若
,
,则曲线是椭圆。
- 若
,则这椭圆其实是圆。
- 若
,则这椭圆其实是线段。
- 若
,
(所以
),则曲线是besace。
- 若
,则这besace是拋物线一部份。
- 若
,则这besace是一个热罗诺双纽线。
以下是利萨茹曲线的例子,其中
,
,
是奇数,
是偶数,
。
-
p = 1, q = 2
-
p = 3, q = 2
-
p = 3, q = 4
-
p = 5, q = 4
-
p = 5, q = 6
-
p = 9, q = 8
-
频率比1:n和n:1的情况
Δφ
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1:1
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1:2
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1:3
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2:1
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0
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¹/₄·π
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¹/₂·π
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³/₄·π
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1·π
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1¹/₄·π
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1¹/₂·π
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1³/₄·π
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2·π
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频率比n1:n2的情况
Δφ
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2:3
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Δφ
|
3:4
|
0
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|
0
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¹/₂·¹/₄·π
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¹/₃·¹/₄·π
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¹/₂·¹/₂·π
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¹/₃·¹/₂·π
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¹/₂·³/₄·π
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¹/₃·³/₄·π
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¹/₂·π
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¹/₃·π
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5/8·π
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5/12·π
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³/₄·π
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¹/₂·π
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7/8·π
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7/12·π
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1·π
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²/₃·π
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演示
鼠标悬浮在两个数字上时,通过滚轮可以调节数字大小。
在電子學上的應用
藉由使用利萨茹圖形可以測量出兩個信號的頻率比與相位差。
外部連結