質數階乘質數
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質數階乘質數(又稱素數階乘質數或質數階乘素數)是和某个質數階乘相邻的質數,即它是某个質數階乘的增一或減一。
- pn的質數階乘記作pn#。
- pn# + 1是質數,對n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...(A014545)
前幾個質數階乘質數是:
截至2022年,已知的最大质数阶乘质数是 3267113#-1 ,它有 1418398 位数,由PrimeGrid发现。[1]已知的最大的形如 n#+1 的质数阶乘质数是 392113#+1 ,它有 169966 位数,由Daniel Heuer发现。
質數階乘質數也能用來證明質數是無限的。
首先,假設前n個質數是唯一存在的質數。如果pn# + 1或pn# − 1是質數階乘質數,這意味著有比第n個質數更大的質數(即使不是質數,也能證明質數無窮,但不那麼直接。這兩個數除以前n個中的任何一個質數 p 時,都有餘數 1 或 p−1 ,因此不整除其中任何一數)。
事實上,歐幾里得的證明並沒有假設一個有限集合包含所有質數的存在。相反,他說:
consider any finite set of primes (not necessarily the first n primes; e.g. it could have been the set {3, 11, 47}), and then went on from there to the conclusion that at least one prime exists that is not in that set.
意思是: 考慮任何質數的有限集合(不一定是一開始的質數,例如,它可以是集合{3,11,47}),然後從兩個方面得到這樣的結論:至少存在一個不在該集合的質數。[1] (页面存档备份,存于互联网档案馆)[2]
參見
參考文獻
- A. Borning, "Some Results for and " Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
- Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial (页面存档备份,存于互联网档案馆) at The PrimePages.
- 埃里克·韦斯坦因. Primorial Prime. MathWorld.
- Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." J. Rec. Math. 19 (1987): 197 - 203.
- Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.
- ^ Primegrid.com (页面存档备份,存于互联网档案馆); official anouncement, 24 December 2010
- ^ A. Borning, "Some Results for and " Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.