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費馬原理

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皮埃爾·德·費馬

費馬原理(英語:Fermat's principle)最早由法国科学家皮埃爾·德·費馬在1662年提出:光传播的路径是光程极值的路径。这个极值可能是极大值、极小值或函数拐点[1]最初提出时,又名「最短時間原理」:光線傳播的路徑是需時最少的路徑[2]

費馬原理更正確的稱謂應是「平穩時間原理」:光沿着所需时间为平稳的路径传播。平稳是数学上的微分概念,可以理解为一阶导数为零,它可以是极大值、极小值甚至是拐点。

費馬原理是几何光学的基本定理。用微分变分法可以从費馬原理导出以下三个几何光学定律:

  1. 光线在真空中的直线传播。
  2. 光的反射定律 - 光线在界面上的反射, 入射角必须等于出射角。
  3. 光的折射定律斯涅尔定律)。

最短光时线可以有多条,例如光线从椭圆面焦点A经过反射到另一焦点B,可以有无数条路径,所有这些路径的光線傳播时間都相等。

概述

光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形鏡子反射,最終抵達點P。
光線從點Q傳播至點O時,會被混合形狀鏡子反射,最終抵達點P。
光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形或混合形鏡子反射,最終抵達點P。

費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況,光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值,而是最大值,或甚至是拐值[1]

  • 平面鏡:任意兩點的反射路徑光程是最小值。
  • 半橢圓形鏡子:其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的,光程都一樣,是最大值,也是最小值。
  • 半圓形鏡子:其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值。
  • 如最右圖所示,對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子,同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。

光的反射

平面反射

光在平面上的反射
平面反射的光程

光从P点出发射向x点,反射到Q点。

P 点到 x点的距离

Q 点 到 x 点的距离

從點P到點Q的光程 D 為

根據費馬原理,光線在真空中傳播的路徑是光程為極值的路徑。

取光程 的導數,令其為零:

但其中


这就是反射定律

半球面反射

光線從點Q傳播至點O時,會被半圓形鏡子反射,最終抵達點P。
R=5 半圆镜的反射点在圆的顶点,光程最长=2.82R

球面的半径=R

光线从直径一端Q射向球面,反射到直径另一端P

光程

;

所以

根据费马原理, D'=0

解之, 得 ,代入D得到:

光程,乃是一个最大值=2.8R;(最小值光程是从直径一端到Q另一端P,光程=2R)

光的折射

光線從介質1的點Q,在點O傳播進入介質2,發生折射,最後抵達介質2的點P。

如右圖所示,設定介質1、介質2的折射率分別為 ,光線從介質1在點O傳播進入介質2,則司乃耳定律以方程式表達為

其中, 為入射角, 為折射角。

從費馬原理,可以推導出司乃耳定律。光線在介質1與介質2的速度 分別為

其中,真空光速。

由於介質會減緩光線的速度,折射率 都大於

從點Q到點P的傳播時間

根據費馬原理,光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑,取傳播時間 的導數,設定其為零:

其中

因此得到傳播速度與折射角的關係式:

將傳播速度與折射率的關係式代入,就會得到司乃耳定律:

运动学

伯努利家族约翰·伯努利在解决最速降线问题时曾利用到费马原理。[3]他将小球运动类比作光线的运动,从而得出最速降线为摆线

參閱

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 Hecht, Eugene, Optics 4th, United States of America: Addison Wesley: pp. 106–111, 141, 2002, ISBN 0-8053-8566-5 (英语) 
  2. ^ Dugas, R., A History Of Mechanics, New York: Dover Publications, Inc.: pp. 255ff, 274, 345–346, 1988, ISBN 0-486-65632-2 
  3. ^ http://www.guokr.com/article/22018/页面存档备份,存于互联网档案馆) 复活节闲扯:一场激动人心的数学公开挑战赛,果壳网。