主平方根的數學表示式
在數學中,一個數
的平方根
指的是滿足
的數,即平方結果等於
的數。例如,4和-4都是16的平方根,因為
。
任意非負實數
都有唯一的非負平方根,稱為主平方根或算術平方根(英語:principal square root),記為
,其中的符號
稱作根號。例如,9的主平方根為3,記作
,因為
並且3非負。被求平方根的數稱作被開方數(英語:radicand),是根號下的數字或者表達式,即例子中的數字9。
正數
有兩個互為相反數的平方根:正數
與負數
,可以將兩者一起記為
。
負數的平方根在複數系中有定義。而實際上,對任何定義了開平方運算的數學物件都可考慮其「平方根」(例如矩陣的平方根)。
- 在MicroSoft的試算表軟體Excel與大部分程式語言中以 "sqrt()"表示求主平方根。
歷史
耶魯大學的巴比倫藏品YBC 7289是一塊泥板,製作於前1800年到前1600年之間。泥板上是一個畫了兩條對角線正方形,標註了
的六十進制數字 1;24,51,10。[1]十六進制的 1;24,51,10 即十進制的 1.41421296,精確到了小數點後5位(1.41421356...)。
萊因德數學紙草書大約成書於前1650年,內容抄寫自更早年代的教科書。書中展示了埃及人使用反比法求平方根的過程。[2]
古印度的《繩法經》大約成書於前800年到前500年之間,書中記載了將2的平方根的計算精確到小數點後5位的方法。
古希臘的《幾何原本》大約成書於前380年,書中還闡述了如果正整數不是完全平方數,那麼它的平方根就一定是無理數——一種無法以兩個整數的比值表示的數(無法寫作m/n,其中m和n是整數)。[3]
中國的《書》成書於漢朝(約前202年到前186年之間),書中介紹了使用盈不足術求平方根的方法。
古代未有劃一的平方根符號時,人們通常使用他們語言內開方這個字的首個字母的變型作為開方號。
中世紀時,拉丁語中的latus(正方形邊)的首個字母「L」被不少歐洲人採用;亨利·布里格斯在其著作《Arithmetica Logarithmica》中則用橫線當成latus的簡寫,在被開方的數下畫一線。
最有影響的是拉丁語的radix(平方根),1220年Leconardo在《Practica geometriae》中使用℞(R右下角的有一斜劃,像P和x的合體);⎷(沒有上面的橫劃)是由克里斯多福·魯登道夫在1525年的書Coss首次使用,據說是小寫r的變型;後來數學家笛卡兒給其加上線括號,但與前面的方根符號是分開的(即「⎷‾」),因此在複雜的式子中它顯得很亂。直至18世紀中葉,數學家盧貝將前面的方根符號與線括號一筆寫成,並將根指數寫在根號的左上角,以表示高次方根(當根指數為2時,省略不寫),從而形成了現在人們熟知的開方運算符號
。
正數
函數
圖,半拋物線與垂直準線。
的平方根亦可用指數表示,如:
![{\displaystyle x^{\frac {1}{2}}={\sqrt {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc21e95c62d91b174b2a3d734ad06e046919e449)
的絕對值可用
的算數平方根表示:
![{\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}\left(={\begin{cases}x&(x\geq 0)\\-x&(x<0)\end{cases}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d60eb74e24a159278a3a3e8802d19ca94a174d7c)
若正整數
是平方數,則其平方根是整數。若正整數
不是平方數,則其平方根是無理數。
對於正數
、
,以下式成立:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d9792194237c76e1db95239136a148a22797a9)
負數與複數
正數和負數的平方都是正數,0的平方是0,因此負數沒有實數平方根。然而,我們可以把我們所使用的數字集合擴大,加入負數的平方根,這樣的集合就是複數。首先需要引入一個實數集之外的新數字,記作
(也可以記作
,比如電學場景中
一般表示電流),稱之為虛數單位,定義即為
,故
是-1的平方根,而且
,所以
也是-1的平方根。通常稱-1的主平方根是
,如果
是任意非負實數,則
的主平方根就是:
![{\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/256fc4aeac40bb57320642c5564e5735199dd526)
例如-5的平方根有兩個,它們分別為
和
。
之所以等式右側(包括其對應的負值)是
的主平方根,是因為:
![{\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158e5a5de426265a7c5a831cc5e391325c7a338b)
負數的兩個平方根為一對共軛的純虛數。
對於負數
、
,以下式成立:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}&={\sqrt {-x}}\,i\times {\sqrt {-y}}\,i={\sqrt {xy}}\,i^{2}=-{\sqrt {xy}}\\{\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}&={\frac {{\sqrt {-x}}i}{{\sqrt {-y}}i}}={\sqrt {\frac {-x}{-y}}}={\sqrt {\frac {x}{y}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8251ec8a190d5d2889dc5cd025cf7681beeee20b)
虛數的主平方根
複數平面中,
的兩個平方根
虛數
的主平方根可以根據以下公式計算:
![{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f385cc49a4503ce72ba10807dd4a98b57e6b195)
這個公式可以通過用代數方法推導,只需找到特定的實數
和
,滿足
![{\displaystyle {\begin{aligned}i&=(a+bi)^{2}\\&=a^{2}+2abi-b^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a637db1a4010c34b92da34b725caeb554573760)
就可以得到方程組
![{\displaystyle {\begin{cases}2ab=1\\a^{2}-b^{2}=0\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8988839e0f5c47007a7621e351f5d1658b59aaec)
的解:
![{\displaystyle a=b=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f071ebbff8bb42ff4db288929a1a1d4da59673cf)
其中,主平方根即為
![{\displaystyle a=b={\frac {\sqrt {2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d2742273cb39bd3cff598f13e52a764579171c)
這個公式還可以通過棣美弗公式得到,設
![{\displaystyle i=\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9953f8002884039314461306d40b398751c2e0e5)
就可以推出
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {i}}&=\left[\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)\right]^{\frac {1}{2}}\\&=\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}+i{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\&={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f86b3b7203a50d96454199f6b6b0ca30d029303)
複數的主平方根
極坐標下,複數
的幾個方根
對於任何一個非零的複數
都存在兩個複數
使得
。
首先,我們將複數
看作是平面上的點,即笛卡兒坐標系中的
點。這個點也可以寫作極坐標的
,其中
,是該點到坐標原點的距離,
則是從原點到該點的直線與實數坐標軸(
軸)的夾角。複分析中,通常把該點記作
。如果
![{\displaystyle z=re^{i\varphi },-\pi <\varphi \leq \pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1b503fb9a34cfca1198fca478ee130982ac4c12)
那麼我們將
的主平方根定義為:
![{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}e^{\frac {i\varphi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abbc8e02d775ee11153d1b017a4fff17312570af)
因此,平方根函數除了在非正實數軸上以外是處處全純的。
的泰勒級數也適用於複數
。
上面的公式還可以用三角函數的形式表達:
![{\displaystyle {\sqrt {r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)}}={\sqrt {r}}\left(\cos {\frac {\varphi }{2}}+i\sin {\frac {\varphi }{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9654238ad2d7347c9ccb86c5b0d670b31c1efd12)
代數公式
如果使用笛卡兒坐標的形式表達複數 z,其主平方根可以使用如下公式:[4][5]
![{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {\frac {|z|+\Re (z)}{2}}}\pm i{\sqrt {\frac {|z|-\Re (z)}{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2b1c4487834a52c5d0440965acd4fd6f9c67ac0)
其中,方根虛部的符號與被開方數虛部的符號相同(為0時取正);主值實部永遠非負。
在虛數裡,平方根函數的值不是連續的,以下等式不一定成立:
![{\displaystyle {\sqrt {zw}}={\sqrt {z}}{\sqrt {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69736e0fca5366225d71b03cbe0ae84ef8d7d9bc)
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {w}}{\sqrt {z}}}={\sqrt {\frac {w}{z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32905bc5f10ca0ce6afeea72186f2ac85d9d91ea)
![{\displaystyle {\sqrt {z^{*}}}=\left({\sqrt {z}}\right)^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7de0bb8f7c38b7810de19ebe31b599569de31b15)
所以這是錯誤的:
![{\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/208ed50475bd6661822dc3df5288d2d27ca87044)
多項式
例:若
,
2的主平方根
數學史中,最重要的平方根可以說是
,它代表邊長為1的正方形的對角線長,是第一個公認的無理數,也叫畢達哥拉斯常數,其值到小數點14位約為1.4142135623731。
是無理數,可由歸謬法證明:
- 設
為有理數,可表示為
,其中
、
為互質之正整數。
- 因為
,故
是2的倍數,
也是2的倍數,記為
,其中
為正整數。
- 但是
,故
,
是2的倍數,
也是2的倍數。
- 依上兩式,
、
都是2的倍數,和
、
為互質之正整數的前題矛盾。依歸謬法,得證
不是有理數,即
是無理數。
計算方法
因數計算
。
注意,6 的質因數分解為 2 × 3,不能寫成某個數的平方,因此
就是最簡結果
。
中算開方
北宋賈憲增乘開平方法
《九章算術》和《孫子算經》都有籌算的開方法。宋代數學家賈憲發明釋鎖開平方法、增乘開平方法;明代數學家王素文,程大位發明珠算開平方法,而朱載堉《算學新說》首創用81位算盤開方,精確到25位數字[6]。
長除式算法
長除式算平方根的方式也稱為直式開方法,原理是
。
- 首先將要開平方根的數從小數點分別向右及向左每兩個位一組分開,如98765.432內小數點前的65是一組,87是一組,9是一組,小數點後的43是一組,之後是單獨一個2,要補一個0而得20是一組。如1 04.85 73得四組,順序為1' 04. 85' 73'。
- 將最左的一組的數減去最接近又少於它的平方數,並將該平方數的開方(應該是個位數)記下。
- 將上一步所得之差乘100,和下一組數加起來。
- 將記下的數乘20,然後將它加上某個個位數,再乘以該個個位數,令這個積不大於但最接近上一步所得之差,並將該個個位數記下,且將上一步所得之差減去所得之積。
- 記下的數一次隔兩位記下。
- 重覆第3步,直到找到答案。
- 可以在數字的最右補上多組的00'以求得理想的精確度為止。
下面以
為例子:
四捨五入得答案為14.14。
事實上,將算法稍作改動,可以開任何次方的根,詳見n次方算法。
利用高精度長式除法可以計算出1至20的平方根如下:
![{\displaystyle {\sqrt {1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7bf2189fbb14a70abb4d7e3f2aedec1f3e787e6) |
![{\displaystyle =\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2219e60aaf3efae72388ea5a38538ff64f0ce00) |
1
|
![{\displaystyle {\sqrt {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4afc1e27d418021bf10898eb44a7f5f315735ff) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462
|
![{\displaystyle {\sqrt {3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b19c09494138b5082459afac7f9a8d99c546fcd) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909
|
![{\displaystyle {\sqrt {4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ddc524346bd183be9f2c63f906d73910844ef1d) |
![{\displaystyle =\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2219e60aaf3efae72388ea5a38538ff64f0ce00) |
2
|
![{\displaystyle {\sqrt {5}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b78ccdb7e18e02d4fc567c66aac99bf524acb5f) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638
|
![{\displaystyle {\sqrt {6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a857de6bca2591cfad08e4378634825b6be66a01) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457
|
![{\displaystyle {\sqrt {7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ca16e62fc47de4252d87457029895a954d91a42) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230
|
![{\displaystyle {\sqrt {8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74655655dfdd370266c9238e7ba06ff9cc9d43f9) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924
|
![{\displaystyle {\sqrt {9}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac20efa072b0e9082e65122a4104a02f4a746986) |
![{\displaystyle =\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2219e60aaf3efae72388ea5a38538ff64f0ce00) |
3
|
![{\displaystyle {\sqrt {10}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd7409b0ddbc1f90280265e7bc95dd20626ebf1b) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639
|
![{\displaystyle {\sqrt {11}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b713509221c99940e3bfc0eeb7ddafe6ec870ec) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609
|
![{\displaystyle {\sqrt {12}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c878efdf227cf70df28aa7d43cea0069e6f515e9) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818
|
![{\displaystyle {\sqrt {13}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a95228048246821171e1789114839cbd00978027) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293
|
![{\displaystyle {\sqrt {14}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19763bff915d190ddb1eb7b8dd9beb7ede194bff) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307
|
![{\displaystyle {\sqrt {15}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e343ba1fba1d0222e6d6b02e264aec5717548f6) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937
|
![{\displaystyle {\sqrt {16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/513d1ff9b2ee38ab35caf25b67c82f17a6f99a9e) |
![{\displaystyle =\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2219e60aaf3efae72388ea5a38538ff64f0ce00) |
4
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![{\displaystyle {\sqrt {17}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d090c5c91c92d2926ceeece2133403c09bdf4dc) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338
|
![{\displaystyle {\sqrt {18}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a72a94abb379143c58c86b6db1eddbba27a9b5b) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386
|
![{\displaystyle {\sqrt {19}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16a05218b63c0a1f5fb64f9bdd886e04ec9d1f3c) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203
|
![{\displaystyle {\sqrt {20}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d32ce4e3e5160ec9e305bedcdd1fbbdd775c9e) |
![{\displaystyle \approx }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f58f4c2b73283ce8a5ad28fb3746f2a8c998789) |
4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276
|
牛頓法
如果要求
的平方根,選取
![{\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(x_{n}+{\frac {S}{x_{n}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856e2cc57765274ae3f7e80b2a0c0c274cae2003)
例子:求
至6位有效數字。
![{\displaystyle x_{0}=3^{6}=729.000\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f7e729729f59e7043e69945f0ea77b39ba1c0bf)
![{\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+{\frac {S}{x_{0}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(729.000+{\frac {125348}{729.000}}\right)=450.472}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/494afedc8a66d2d7d37ecac41bef3a124f0d6907)
![{\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{1}+{\frac {S}{x_{1}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(450.472+{\frac {125348}{450.472}}\right)=364.365}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3de23adf43a880d5e083e404b80bec3fed8e34bd)
![{\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left(x_{2}+{\frac {S}{x_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(364.365+{\frac {125348}{364.365}}\right)=354.191}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d7304d3c0026dc9755ac41f62282f7535ad1633)
![{\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}\left(x_{3}+{\frac {S}{x_{3}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.191+{\frac {125348}{354.191}}\right)=354.045}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bba61b4866b035c837260aaa79c2aa85c9b098ad)
![{\displaystyle x_{5}={\frac {1}{2}}\left(x_{4}+{\frac {S}{x_{4}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(354.045+{\frac {125348}{354.045}}\right)=354.045}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eec508225a99d1c2f03dfafcd3b3c6aec86bca3f)
因此
.
平方根可以簡便地用連分數的形式表示,關於連分數請見連分數,其中1至20的主平方根分別可用連分數表示為:
![{\displaystyle {\sqrt {1}}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5509eac62c3da5cefd034b3ca1f2b2f5f2e9c3ca)
![{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc9b02798ffa8c81bf9bdcbc2f09e1e0aee4422)
![{\displaystyle {\sqrt {3}}=[1;1,2,1,2...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df0c6eb26d9a8ea8fc7536e85d506c3970d25d3b)
![{\displaystyle {\sqrt {4}}=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d82f5e32bfe3dfb14b13ed6b632b48b063acd77)
![{\displaystyle {\sqrt {5}}=[2;4,4,4,4...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3db0b9a3b70d460c26600c2a48038f4044f30bf2)
![{\displaystyle {\sqrt {6}}=[2;2,4,2,4...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a77c30771fc26826e8d2c5e7bed3f3a41850f47)
![{\displaystyle {\sqrt {7}}=[2;1,1,1,4,1,1,1,4...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07f8ee5f5ca1b5e7fef75103bacd0ffbc18ab597)
![{\displaystyle {\sqrt {8}}=[2;1,4,1,4...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f94114159ad39146dbee0db04f66f5fc6c5e15ed)
![{\displaystyle {\sqrt {9}}=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44820d293d56e49db705b37ad756363767077121)
![{\displaystyle {\sqrt {10}}=[3;6,6,6,6...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/849b4bef93de145e137f648999d6d3c3fab2db5e)
![{\displaystyle {\sqrt {11}}=[3;3,6,3,6...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf1bddf4ae2a7b8fa8a47e8996cd6f109ddeb0ab)
![{\displaystyle {\sqrt {12}}=[3;2,6,2,6...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7f86b2454a2b20534e09dbe888b7228db1d8a44)
![{\displaystyle {\sqrt {13}}=[3;1,1,1,1,6,1,1,1,1,6...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1270c1d403e3d9059ab4cf2c146ecb36c3dc08b0)
![{\displaystyle {\sqrt {14}}=[3;1,2,1,6,1,2,1,6...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9a7e23c50b6c14119333421f27b7381250c7fe)
![{\displaystyle {\sqrt {15}}=[3;1,6,1,6...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1883e99932565fc6b8e5a86a3934b130d3cb09be)
![{\displaystyle {\sqrt {16}}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c0d55c700c3a4b7cc23296f9a6c913fec320464)
![{\displaystyle {\sqrt {17}}=[4;8,8,8,8...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/099316b44578e9592e1425571402bb24e76664fe)
![{\displaystyle {\sqrt {18}}=[4;4,8,4,8...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4a789b740adf75a585e1a4e3bb5d85a2fc23056)
![{\displaystyle {\sqrt {19}}=[4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7cd3c48024a8f78a4b7ce606d442893d273e665)
![{\displaystyle {\sqrt {20}}=[4;2,8,2,8...]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8ab7596515455a8476ccbcd6827283d0eab5ed0)
連分數部分均循環,省略號前為2或4個循環節。
巴比倫方法
巴比倫求平方根的算法實際上很簡單:(假設要求一個數N的平方根)
- 預測一個平方根
,初始另一個值
,且![{\displaystyle xy=N}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffe65ea55977f9d8d0669eeef51fd37df5213c2d)
- 求預測值與初始值的均值:
, ![{\displaystyle y={\frac {N}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acc9957500cd702722de4d5a76789794114a345e)
- 比較
和
的差值是否達到精度,如果無,繼續步驟
重複的算術運算
這個方法是從佩爾方程式演變過來的,它通過不斷減去奇數來求得答案。
問題
給定線段AB和1,求一條長為
的線段。
解法
- 畫線AB,延長BA至C使
![{\displaystyle AC=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbe81790332736420b0c659bb1294aaab8ce747f)
- 以BC的中點為圓心,OC為半徑畫圓
- 過A畫BC的垂直線,垂直線和圓弧交於D,AD即為所求之長度
證明
將整個過程搬到直角座標上,已知AC=1,設
- O=
![{\displaystyle (0,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d630d3e781a53b0a3559ae7e5b45f9479a3141a)
- AB=
![{\displaystyle n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b)
- 直徑為BC的圓就是
(圓的方程式:
)(其中
表示半徑。)
- 將
(A,D所在的x座標)代入上面的方程式
![{\displaystyle \left({\frac {n+1}{2}}-1\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e860f9d7377d9c67676907b15d275a4b3793ca)
- 解方程式,得
。
另也可參見射影定理。
射影定理(圖)
參見
外部連結
參考資料
- ^ Analysis of YBC 7289. ubc.ca. [19 January 2015]. (原始內容存檔於2020-03-12).
- ^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
- ^ Heath, Sir Thomas L. The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. 1908: 3.
- ^ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. Courier Dover Publications. 1964: 17. ISBN 0-486-61272-4. (原始內容存檔於2016-04-23). , Section 3.7.27, p. 17 網際網路檔案館的存檔,存檔日期2009-09-10.
- ^ Cooke, Roger. Classical algebra: its nature, origins, and uses. John Wiley and Sons. 2008: 59. ISBN 0-470-25952-3. (原始內容存檔於2016-04-23).
- ^ 勞漢生《珠算與實用算術》ISBN 7-5375-1891-2/O