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2的主平方根

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2的平方根
2的平方根
數表無理數
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命名
名稱2的算術平方根
2的主平方根
根號2
識別
種類無理數
符號
性質
連分數
以此為的多項式或函數
表示方式
1.414213562...
二進制1.011010100000100111100110
十進制1.414213562373095048801688
十六進制1.6A09E667F3BCC908B2FB1366

2的主平方根,俗稱「根號2」,記作,可能是最早被發現的無理數。相傳畢達哥拉斯學派希帕索斯首先提出了「不是有理數」的命題:若一個直角三角形的兩個直角邊都是1,那麼它的斜邊長,無法用整數分數表示。

其最初65位為

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799OEIS數列A002193

是無理數的證明

人們發現了許多方法證明是無理數。以下是反證法的證明

常見的證明

  1. 假設是有理數,即有整數,使得
  2. 重寫成最簡分數,即互質,且
  3. 所以,即
  4. 因為必為偶數,故亦是偶數
  5. 為偶數(奇數平方不會是偶數)
  6. 所以必有一整數,使得
  7. 將(3)的式子代入(6):
  8. 化簡得
  9. 因為是偶數,所以是偶數,亦是偶數
  10. 所以都是偶數,跟是最簡分數的假設矛盾
  11. 因為導出矛盾,所以(1)的假設錯誤,不是有理數,即是無理數

這個證明可推廣至證明任何非完全平方數正整數,其主平方根為無理數。

另一個證明

另外一個是無理數的反證法證明較少為人所知,但證明方法也相當漂亮:

  1. 假設是有理數,便可以表示成最簡分數,其中, 為正整數
  2. 由於,所以
  3. 因為
  4. 所以
  5. 是比更簡的分數,與是最簡分數的假設矛盾

從一個直角邊為,斜邊為等腰直角三角形,可以用尺規作圖作出直角邊為,斜邊為的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。

性質

2的主平方根可以表示為以下的級數無窮乘積

2的主平方根的連分數展開式為:

[註1]

註釋

    註:

  1. ^ , 由觀察可知,即, 解方程,取正根,得, 因此

參見

外部連結