單元素集合
統計學系列條目 |
機率論 |
---|
![]() |
數學上,單元素集合是由唯一一個元素組成的集合。[1]例如,集合 {0} 是個單元素集合。注意,集合諸如 {{1,2,3}} 也是單元素集合,唯一的元素是一個集合(這個集合可能本身不是單元素集合)。
一個集合是單元素集合,當且僅當它的基數為1。在自然數的集合論定義中,數字 1 就是定義為單元素集合 {0}。
在公理集合論中,單元素集合的存在性是空集公理和對集公理的結果:前者產生了空集 {},後者應用於對集 {} 和 {},產生了單元素集合 {{}}。
若 A 是任意集合,S 是單元素集合,則存在唯一一個從 A 到 S的函數,該函數將所有 A 中的元素映射到 S 的單元素。
- 上述說明所有單元素集合 S 都是集合範疇的終對象。該範疇中沒有其它終對象。
- 任意單元素集合都能夠轉化成拓撲空間(所有子集都是開集)。這些單元素拓撲空間是拓撲空間範疇的終對象。該範疇中沒有其它終對象。
- 任意單元素集合都能夠轉化成群(唯一的元素作為單位元)。這些單元素是群範疇的零對象。群範疇中沒有其它零對象或終對象。
參見
參考來源
參考資料
- ^ Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories. W. H. Freeman and Company. 1961: 5–6.