4個量子位元的IBM實驗晶片,但最後並無實用價值。
在量子資訊學 中,量子位元 (英語:quantum bit ),又稱Q位元 (qubit [ 1] )是量子資訊的計量單位 。傳統電腦 使用的是0和1,量子電腦 雖然也是使用0跟1,但不同的是,量子電腦 的0與1可以同時計算。在古典系統中,一個位元在同一時間,只有0或1,只存在一種狀態,但量子位元可以同時是1和0,兩種狀態同時存在,這種效果叫量子疊加 。這是量子電腦計算目前獨有的特性。
定義
具有量子 特性的系統(通常為雙態系統 ,如自旋1/2粒子),選定兩個相互正交 的本徵態 ,分別以
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
(採狄拉克標記 右括向量表示)和
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
代表。當對此系統做投影式量子測量 時,會得到的結果必為這兩個本徵態之一,以特定機率比例出現。此外,這兩個本徵態可以複數 係數做線性疊加 得到諸多新的量子態
|
ψ
⟩
=
α
|
0
⟩
+
β
|
1
⟩
;
α
,
β
∈
C
{\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle ;\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {C} }
,
而從量子力學 得知,這些線性疊加態
|
ψ
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle \,}
的兩個複數係數,必須要求各自絕對值平方相加之和為1,也就是:
|
α
|
2
+
|
β
|
2
=
1
{\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\,}
因為
1
=
⟨
ψ
|
ψ
⟩
=
(
α
|
0
⟩
+
β
|
1
⟩
)
†
(
α
|
0
⟩
+
β
|
1
⟩
)
=
(
α
∗
⟨
0
|
+
β
∗
⟨
1
|
)
(
α
|
0
⟩
+
β
|
1
⟩
)
{\displaystyle 1=\langle \psi |\psi \rangle =(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )^{\dagger }(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=(\alpha ^{*}\langle 0|+\beta ^{*}\langle 1|)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )}
=
α
∗
α
⟨
0
|
0
⟩
+
β
∗
β
⟨
1
|
1
⟩
{\displaystyle =\alpha ^{*}\alpha \langle 0|0\rangle +\beta ^{*}\beta \langle 1|1\rangle }
=
|
α
|
2
+
|
β
|
2
{\displaystyle =|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}\,}
,即要求總機率要是1。
兩個本徵態
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
、
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
及無限多種線性疊加態
|
ψ
⟩
=
α
|
0
⟩
+
β
|
1
⟩
{\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }
,集合起來就代表了一個量子位元;各態皆屬純態 。
和(古典)位元 「非0即1」有所不同,量子位元可以「又0又1」的狀態存在,所謂「又0又1」即上述無限多種
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )\,}
組合的線性疊加態。這特性導致了量子平行處理 等現象,並使量子計算 應用在某些課題上顯著地優於古典計算,甚至可進行古典計算無法做到的工作。
量子位元通常會採用一種幾何表示法將之圖像化,此表示法稱之為布洛赫球面 。
按方向所採的諸多表示法
若設定
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
、
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
順沿直角坐標系 的z方向,則有諸多表示法。可採上述向量 形式如狄拉克標記 的右括向量,亦可將之表為行矩陣;另外有密度矩陣 形式,可表為右括向量乘以左括向量,或表為方塊矩陣 ,可見如下:
z方向
向量:
z
+
=
|
0
⟩
=
(
1
0
)
,
z
−
=
|
1
⟩
=
(
0
1
)
{\displaystyle z_{+}=|0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad z_{-}=|1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}
密度矩陣:
z
+
=
|
0
⟩
⟨
0
|
=
(
1
0
)
∗
(
1
0
)
=
(
1
0
0
0
)
,
{\displaystyle z_{+}=|0\rangle \langle 0|={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},}
z
−
=
|
1
⟩
⟨
1
|
=
(
0
1
)
∗
(
0
1
)
=
(
0
0
0
1
)
{\displaystyle z_{-}=|1\rangle \langle 1|={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}
x方向
向量:
x
+
=
|
x
+
⟩
=
(
1
2
1
2
)
,
x
−
=
|
x
−
⟩
=
(
1
2
−
1
2
)
{\displaystyle x_{+}=|x_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\quad x_{-}=|x_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}}
密度矩陣:
x
+
=
|
x
+
⟩
⟨
x
+
|
=
(
1
2
1
2
)
∗
(
1
2
1
2
)
=
(
1
2
1
2
1
2
1
2
)
,
{\displaystyle x_{+}=|x_{+}\rangle \langle x_{+}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},}
x
−
=
|
x
−
⟩
⟨
x
−
|
=
(
1
2
−
1
2
)
∗
(
1
2
−
1
2
)
=
(
1
2
−
1
2
−
1
2
1
2
)
{\displaystyle x_{-}=|x_{-}\rangle \langle x_{-}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}
y方向
向量:
y
+
=
|
y
+
⟩
=
(
1
2
i
2
)
,
y
−
=
|
y
−
⟩
=
(
1
2
−
i
2
)
{\displaystyle y_{+}=|y_{+}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}},\quad y_{-}=|y_{-}\rangle ={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}}
密度矩陣:
y
+
=
|
y
+
⟩
⟨
y
+
|
=
(
1
2
i
2
)
∗
(
1
2
−
i
2
)
=
(
1
2
−
i
2
i
2
1
2
)
,
{\displaystyle y_{+}=|y_{+}\rangle \langle y_{+}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {i}{2}}\\{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},}
y
−
=
|
y
−
⟩
⟨
y
−
|
=
(
1
2
−
i
2
)
∗
(
1
2
i
2
)
=
(
1
2
i
2
−
i
2
1
2
)
{\displaystyle y_{-}=|y_{-}\rangle \langle y_{-}|={\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}*{\begin{pmatrix}{\frac {1}{\sqrt {2}}}&{\frac {i}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {i}{2}}\\-{\frac {i}{2}}&{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}}
量子三位元
量子三位元 (qutrit)是量子位元的推廣,有些應用採取之。量子三元以狄拉克標記 右括向量表示可寫為
|
0
⟩
{\displaystyle |0\rangle }
、
|
1
⟩
{\displaystyle |1\rangle }
、
|
2
⟩
{\displaystyle |2\rangle }
。一個自旋 為1的粒子,其自旋自由度有三,所對應的本徵值 為+1, 0, -1,此粒子即可用作量子三元。
參閲
註釋
^ MA Nielsen, IL Chuang. Quantum Computation and Quantum Information , Cambridge University Press, Cambridge (2000).
參考文獻
Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang: Quantum Computation and Quantum Information. Cambridge University Press, Cambridge 2000, ISBN 0-521-63503-9 .
Oliver Morsch: Quantum bits and quantum secrets - how quantum physics is revolutionizing codes and computers. Wiley-VCH, Weinheim 2008, ISBN 978-3-527-40710-1 .
Anthony J. Leggett: Quantum computing and quantum bits in mesoscopic systems. Kluwer Academic, New York 2004, ISBN 0-306-47904-4 .
外部連接