非结合代数

非结合代数^[1]^{:Chapter 1}（或分配代数，distributive algebra）是域上的代数，其中乘法不必遵循结合律。即，有代数结构A、域K，若A是K上配备K-双线性乘法 $A\times A\to A$ （不必符合结合律）的向量空间，则称其为K上的非结合代数。例如李代数、约尔丹代数、八元数、具备叉积的3维欧氏空间。由于乘法不必结合，须用括号表示乘法的顺序，比如(ab)(cd)、(a(bc))d、a(b(cd))的含义是不一样的。

这里的“非结合”是说不必结合，而非必不结合，就像非交换环的“非交换”是说“不必交换”。

若代数有单位元e，使得 $\forall x,\ ex=x=xe$ ，则称代数是含幺的或酉的。例如，八元数是含幺的，而李代数绝不含幺。

A的非结合代数结构可与A的K-自同态的全代数的子代数（是结合代数）相关联，作为K-向量空间研究。两个例子是微分代数与（结合）包络代数，后者有“包含A的最小结合代数”的意味。

更一般地，有人提出交换环R上非结合代数的概念：具备R-双线性乘法的R-模。^[1]^:1若一结构服从除结合律外所有环的公理（如R代数），则就自然是 $\mathbb {Z}$ -代数，所以有人称非结合 $\mathbb {Z}$ -代数为非结合环。

满足恒等式的代数

具有两种二元运算、无其他限制的类环结构分很多种类，难以一同研究。所以，最为人所知的非结合代数要满足一些恒等式（即性质），这样稍微简化了乘法。一般来说有如下这些。

一般性质

令x, y, z表示域K上代数A的任意元素。正整数次幂可以递归地定义为 $x^{1}:=x;\ x^{n+1}:=x^{n}x$ ^[2]^:553（右幂）或 $x^{n+1}:=xx^{n}$ ^[1]^:30^[1]^:128（左幂）。

含幺：存在元素e使得 $ex=x=xe$ ；这时可以定义 $x^{0}:=e.$
结合性： $(xy)z=x(yz).$
交换性： $xy=yx.$
反交换性：^[1]^:3 $xy=-yx.$
雅可比恒等式：^[1]^:3^[3]^:12 $(xy)z+(yz)x+(zx)y=0;\ x(yx)+y(zx)+z(xy)=0.$
约尔丹恒等式：^[1]^:91^[3]^:13 $(x^{2}y)x=x^{2}(yx);\ (xy)x^{2}=x(yx^{2}).$
交替性：^[1]^:5^[3]^:18^[4]^:153 $(xx)y=x(xy)$ （左交替）； $(yx)x=y(xx)$ （右交替）。
柔性：^[1]^:28^[3]^:16 $(xy)x=x(yx)$ 。
n次幂结合性（n ≥ 2）： $\forall k,\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^{k}=x^{n}$ $\forall k,\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^{k}=x^{n}$ ，其中k是整数。
- 三次幂结合性： $x^{2}x=xx^{2}.$
- 四次幂结合性： $x^{3}x=x^{2}x^{2}=xx^{3}$ （比较下面的“四次幂交换性”）。
幂结合性：^[1]^:30^[1]^:128^[3]^:17^[5]^:451^[2]^:553任意元素生成的子代数结合，即对n ≥ 2，有n次幂结合。
n次幂交换性，其中n ≥ 2： $\forall k\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^{k}=x^{k}x^{n-k}$ $\forall k\ (0<k<n),\ x^{n-k}x^{k}=x^{k}x^{n-k}$ ，其中k是整数。
- 三次幂交换性： $x^{2}x=xx^{2}$ 。
- 四次幂交换性： $x^{3}x=xx^{3}$ （比较上面的“四次幂结合性”'）。
幂交换性：任意元素生成的子代数交换，即n次幂交换（n ≥ 2）。
索引n ≥ 2的幂零：任意n个元素之积，在任意结合次序下为零，但n−1个元素时不总成立： $x_{1}x_{2}\ldots x_{n}=0,\ \exists n-1$ 个元素y使得在某结合次序下 $y_{1}y_{2}\ldots y_{n-1}\neq 0.$
索引n ≥ 2的零：幂结合性、 $x^{n}=0$ ，存在元素y使得 $y^{n-1}\neq 0.$

性质之间的关系

对特征任意的K：

结合性推出交替性。
左交替、右交替、柔性知二推三。
- 因此交替性推出柔性。
交替性推出约尔丹恒等式。^[6]^:91^[a]
交换性导出柔性。
反交换性导出柔性。
交替性导出幂结合性。^[a]
柔性导出三次幂结合性。
二次幂结合和二次幂交换为真。
三次幂结合和三次幂交换等价。
n次幂结合推出n次幂交换。
索引2的零推出反交换性。
索引2的零推出约尔丹恒等式。
索引3的幂零推出雅可比恒等式。
索引n的幂零推出索引N的零，其中2 ≤ N ≤ n。
含幺与索引n的零不相容。

若 $K\neq {\rm {GF}}(2)$ 或 ${\rm {dim}}(A)\leq 3:$

约尔丹恒等式与交换性共同推出幂结合性。^[7]^:36^[1]^:92^[8]^:710

若 ${\rm {char}}(K)\neq 2:$

右交替性推出幂结合性。^[9]^:319^[10]^:179^[11]^:343^[1]^:148
- 相似地，左交替性推出幂结合性。
含幺与约尔丹恒等式共同推出柔性。^[12]^:18
约尔丹恒等式与柔性共同推出幂结合性。^[12]^{:18–19,fact 6}
交换性与反交换性共同推出索引2的幂零。
反交换性推出索引2的零。
含幺与反交换不相容。

若 ${\rm {char}}(K)\neq 3$ ：

含幺和雅克比恒等式不相容。

若 ${\rm {char}}(K)\notin \{2,3,5\}:$

交换性与 $x^{4}=x^{2}x^{2}$ （定义四次幂结合性的两等式之一）共同推出幂结合性。^[2]^{:554,lemma 4}

若 ${\rm {char}}(K)=0:$

三次幂结合性与 $x^{4}=x^{2}x^{2}$ （定义四次幂结合性的两等式之一）共同推出幂结合性。^[2]^{:554,lemma 3}

若 ${\rm {char}}(K)=2:$

交换性与反交换性等价。

结合子

A上的结合子是K-线性映射 $[\cdot ,\cdot ,\cdot ]:A\times A\times A\to A$ ：

[x,\ y,\ z]=(xy)z-x(yx)

它度量了A非结合的程度，可以很方便地表示一些A满足的式子。

令x, y, z表示域代数的任意元素。

结合律： $[x,\ y,\ z]=0.$
交替性： $[x,\ x,\ y]=0$ $[x,\ x,\ y]=0$ （左交替）及 $[y,\ x,\ x]=0$ $[y,\ x,\ x]=0$ （右交替）。
- 这意味着交换任意两项都会变号： $[x,\ y,\ z]=-[x,\ z,\ y]=-[z,\ y,\ x]=-[y,\ x,\ z].$ 反例仅当 ${\rm {char}}(K)\neq 2.$
柔性： $[x,\ y,\ x]=0.$ $[x,\ y,\ x]=0.$
- 可知，交换极值项将变号： $[x,\ y,\ z]=-[z,\ y,\ x].$ 反例仅当 ${\rm {char}}(K)\neq 2.$
约尔丹恒等式：^[1]^:14 $[x^{2},\ y,\ x]=0$ 或 $[x,\ y,\ x^{2}]=0$ ，取决于学者。
三次幂结合性： $[x,\ x,\ x]=0.$

核是与其他元素结合的元素的集合，^[4]^:56即 $n\in A$ ，使得

[n,\ A,\ A]=[A,\ n,\ A]=[A,\ A,\ n]=0.

核是A的结合子环。

中心

A的中心是与A中所有元素都交换、结合的元素的集合，即

C(A)=\{n\in A\ |\ nr=rn\,\forall r\in A\,\}

与核之交。对C(A)中的元素， $([n,A,A],[A,n,A],[A,A,n])$ 中两个集合若是 $\{0\}$ ，则第三个集合也是零集。

例子

欧几里得空间 $\mathbb {R} ^{3}$ ，乘法由叉积给出。这是反交换、非结合代数的例子。叉积还满足雅可比恒等式。
李代数是满足反交换与雅可比恒等式的代数。
微分流形上的向量场代数（若K是R或C）或代数簇（对一般的K）；
约尔丹代数是满足交换律与约尔丹恒等式的代数。^[3]^:13
结合代数都可通过以交换子为李括号，给出李代数。实际上，李代数要么可以这样构造，要么是这样构造的李代数的子代数。
定义新的乘法 $x^{*}y=(xy+yx)/2$ ，则特征不是2的域上的结合代数给出约尔丹代数。与李代数不同，只有一部分约尔丹代数能这样构造，称作特殊约尔丹代数。
交替代数是满足交替性的代数。最重要的例子是八元数（实数上的代数），以及八元数在其他域上的推广。结合代数都交替。在同构意义上，仅有的有限维实交替除代数（下详）是实数、复数、四元数和八元数。
幂结合代数，是满足幂结合恒等式的代数。例如所有结合代数、所有交替代数、GF(2)以外任意域上的约尔丹代数（上详）与十六元数。
R上的双曲四元数代数，是为解释狭义相对论而引入闵可夫斯基时空前的实验性代数。

更多种类代数：

分次代数，包括大部分对多重线性代数具有重大意义的代数，如张量代数、对称代数、给定向量空间上的外代数等等。分次代数可推广到滤子代数。
除代数，其中存在乘法逆元。实数域上有限维交替除代数的分类已完成。有实数（1维）、复数（2维）、四元数（4维）、八元数（8维）。四元数和八元数不交换；八元数不结合。
二次代数要求 $xx=re+sx$ ，其中r、s属于底域（ground field），e是代数的单位。例子如有限维交替代数、实2阶方阵代数。在同构的意义上，没有零的除子的交替、二次实代数只有实数、复数、四元数和八元数。
凯莱–迪克森代数（其中K是R），始于：
- C（交换结合代数）；
- 四元数H（结合代数）；
- 八元数（交替代数）；
- 十六元数及凯莱-迪克森代数的无限序列（幂结合代数）。
超复数代数都是有限维含幺R-代数，于是包含凯莱-迪克森代数等等。
泊松代数见于几何量子化。其中有2个乘法，以不同方式将其变为结合代数与李代数。
遗传代数是非结合代数，在数学遗传中使用。
三元系