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適應過程

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適應過程隨機過程研究中常見的概念,表示不能「預見未來」的隨機過程。非正式的數學解釋是,一個隨機過程是適應於某個參考族的,當且僅當在任意的特定時刻,隨機過程都是可測的。適應過程是隨機過程理論中很多重要概念的基礎。比如說能夠定義伊藤積分的隨機過程就需要是適應過程。

定義

設有

  • 概率空間
  • 測度空間,狀態空間;
  • 有序的指標集: 可以是非負實數、有限時間集或離散時間
  • σ-代數上的參考族
  • 隨機過程

則隨機過程是適應過程(適應於的隨機過程)當且僅當對任意的時刻映射都是-可測的隨機變量[1]:37[2]:97

適應過程的定義說明,如果一個過程適應於某個參考族,那麼在任意一個特定的時刻,我們掌握的資訊都包括了這個過程。也就是說這個過程在任意時刻的結果必然在該時刻可知。但一般來說,適應過程在任意時刻的結果並不能提前預知。如果一個(離散的)隨機過程在時刻的結果能夠在的時刻已知,那麼這個過程被稱為在參考族可預測。可預測的隨機過程必然適應於參考族,反之則不然。

例子

設狀態空間為實數及其波萊爾σ-代數。設指標集為連續的: 給定一個隨機過程,如果考慮過程產生的自然參考族

那麼當然是適應於的過程,因為在每個時刻,都是-可測的隨機變量。自然參考族也是能使得為適應變量的「最小」參考族。適應於某個參考族,當且僅當在任何時刻[3]:98

是某彩票每期的開獎結果,那麼是一個適應隨機過程,但不可能是一個可預測過程

參考來源

  1. ^ (英文)Peter Mörters, Yuval Peres. Brownian Motion. Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 2010. ISBN 9780521760188. 
  2. ^ (英文)Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven. Brownian Motion and Stochastic Calculus 2nd. Springer. 1991. ISBN 0-387-97655-8. 
  3. ^ (英文)Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Berlin: Springer. 2011. ISBN 978-8847017801.