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常數函數

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數學中,常數函數(也稱常值函數)是指不發生改變(即是常數)的函數。例如,我們有函數,因為映射任意的值到4,因此是一個常數。更一般地,對一個函數,如果對內所有的,都有,那麼,是一個常數函數。其中的常數函數稱為零函數,圖形為x軸;值不為零的常數函數則可稱為零次函數,圖形為一平行x軸的水平線。

請注意,每一個空函數定義域空集的函數)無意義地滿足上述定義,因為中沒有使不同。然而有些人[誰?]認為,如果包括空函數的話,那麼常數函數將更容易定義。

對於多項式函數,一個非零常數函數稱為一個零次多項式,而零函數對應只能叫零多項式。

性質

常數函數可以通過與複合函數的關係,從兩個途徑進行描述。

下面這些是等價的:

  1. 是一個常數函數。
  2. 對所有函數(「」表示複合函數)。
  3. 與其他任何函數的複合仍是一個常數函數。

上面所給的常數函數的第一個描述,是範疇論常數態射更多一般概念的激發和定義的性質。

根據定義,一個函數的導函數度量自變量的變化與函數變化的關係。那麼我們可以得到,由於常數函數的值是不變的,它的導函數是零。例如:

  • 如果是一個定義在某一區間變量為實數的實數函數,那麼當且僅當導函數恆為零時,是常數。

預序集合間的函數,常數函數是保序倒序的;相反的,如果f既是保序的也是倒序的,如定義域是一個,那麼一定是一個常數函數。

常數函數的其他性質包括:

在一個連通集合中,當且僅當f是常數時,它是局部常數

參見

參考文獻