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迴文數

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迴文數回文數是指像14641這樣「對稱」的,即:將這數的位數反轉排列得到的「倒序數」[1]:94或「反序數」[1]:59和原數一樣。這裏,「回文」是指像「媽媽愛我,我愛媽媽」這樣,正讀反讀都相同的單詞或句子。

迴文數在休閒數學領域備受關注,典型的問題就是尋找那些有某種特性且符合回文特徵的數,如

巴克敏斯特·福樂的著作《協同學》(Synergetics)把迴文數也叫做沙拉扎數(Scheherazade Numbers),沙拉扎是《一千零一夜》中那位講故事的王妃、即宰相女兒之名。

任何進位制都有無限個迴文數;101、1001、10001、…(一個1後接n個0再後接一個1)等各項在任何進制都是迴文數,可組成有無限項的序列,這進制的迴文數有無限(其中包括但不限於該序列中的無限項)。

正式定義

雖然通常考慮十進制迴文數,但回文性質可延伸到任何記數系統自然數。以bb≥2)為的數nn>0)可按標準方式表示為k+1個,即

其中,如慣例,對所有i 都要求,且。則n稱為迴文數,當且僅當對所有i 都有在任何基均寫作0並由定義認為它也是迴文數。

另一種等價定義如下:在任何基b,當且僅當:

  • n是一位數,或
  • n為兩位相同數字,或
  • n由三位或更多數字組成,其首位和末位數字相同,且從n中去掉該首位和末尾數字後的數也是回文

的數n稱為回文。

十進制

10基數中所有單位0123456789}都是迴文數。

兩位迴文數有9個:

{11、22、33、44、55、66、77、88、99}

三位迴文數有90個:

{101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999}

四位迴文數也有90個:

{1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999}

小於104的迴文數共199個,小於105的迴文數有1099個,對其它的10的整數冪10n來說,分別有:1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…(OEIS數列A070199)個迴文數。下表列出了一些常見類型的迴文數在這些10的冪為界限下的個數(其中包括將0也作為迴文數):

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010
n自然數 10 19 109 199 1099 1999 10999 19999 109999 199999
n偶數 5 9 49 89 489 889 4889 8889 48889 88889
n奇數 5 10 60 110 610 1110 6110 11110 61110 111110
n完全平方數 3 6 13 14 19
n質數 4 5 20 113 781 5953
n因數中不含平方數的數 6 12 67 120 675
n為可被某平方數整除的數(即μ(n)=0) 3 6 41 78 423
n為質數的平方數 2 3 5
n有偶數個相異的質因子(即μ(n)=1) 2 6 35 56 324
n有奇數個相異的質因子(即μ(n)=-1) 5 7 33 65 352
n本身為偶數並有奇數個質因子
n本身為偶數並有奇數個相異的質因子 1 2 9 21 100
n本身為奇數並有奇數個質因子 0 1 12 37 204
n本身為奇數並有奇數個相異的質因子 0 0 4 24 139
n本身為偶數且因子中無平方數、有偶數個相異質因子 1 2 11 15 98
n本身為奇數且因子中無平方數、有偶數個相異質因子 1 4 24 41 226
n為奇數並有正好兩個質因子 1 4 25 39 205
n為偶數並有正好兩個質因子 2 3 11 64
n為偶數並有正好三個質因子 1 3 14 24 122
n為偶數並有正好三個相異的質因子
n為奇數並有正好三個質因子 0 1 12 34 173
n卡米高數 0 0 0 0 0 1+
n為滿足σ(n)是迴文數的數 6 10 47 114 688

其它基數

十進制以外的數系也有迴文數,如二進制迴文數有:

0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…

以上這些數在十進制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…(OEIS數列A006995)。梅森質數是二進制回文質數的子集。

某基數的迴文數在另一基數通常不是迴文數,像1646110=404D16(下標數字表示基數n16表示以十六進制寫出的n)。然而,有些數字在幾套進制都是迴文數(稱為「協回文」,copalindromic),如10510在五套不同進制都是迴文數:12214=1518=7714=5520=3334;十進制數1991在十六進制為7C7,也是回文。

7的一些冪在18進制是回文:

  • 73= 111
  • 74= 777
  • 76= 12321
  • 79=1367631

任何數n在所有bn+1的基數b都是回文(這時n是單位數);在基為n-1時同樣也是迴文數(這時n就成了11n-1)。如果對於2≤bn-2,某數在基b都是非迴文數,則稱其是嚴格非迴文數(Strictly non-palindromic number)。如6在二進制是110,三進制是20,四進制是12,都不是回文數,是嚴格非回文數。這樣的數其中一種特質是6以上的數都是質數,首幾項:1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… (OEIS數列A016038)。

參見

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 徐連信. C语言程序设计. 清華大學出版社. 2005. 

外部連結