迴文數
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迴文數或回文數是指像14641這樣「對稱」的數,即:將這數的位數反轉排列得到的「倒序數」[1]:94或「反序數」[1]:59和原數一樣。這裡,「回文」是指像「媽媽愛我,我愛媽媽」這樣,正讀反讀都相同的單詞或句子。
迴文數在休閒數學領域備受關注,典型的問題就是尋找那些有某種特性且符合回文特徵的數,如
巴克敏斯特·福樂的著作《協同學》(Synergetics)把迴文數也叫做沙拉扎數(Scheherazade Numbers),沙拉扎是《一千零一夜》中那位講故事的王妃、即宰相女兒之名。
任何進位制都有無限個迴文數;101、1001、10001、…(一個1後接n個0再後接一個1)等各項在任何進制都是迴文數,可組成有無限項的序列,這進制的迴文數有無限(其中包括但不限於該序列中的無限項)。
正式定義
雖然通常考慮十進制迴文數,但回文性質可延伸到任何記數系統的自然數。以b(b≥2)為底的數n(n>0)可按標準方式表示為k+1個數,即
其中,如慣例,對所有i 都要求,且。則n稱為迴文數,當且僅當對所有i 都有。零在任何基均寫作0並由定義認為它也是迴文數。
另一種等價定義如下:在任何基b,當且僅當:
- n是一位數,或
- n為兩位相同數字,或
- n由三位或更多數字組成,其首位和末位數字相同,且從n中去掉該首位和末尾數字後的數也是回文
的數n稱為回文。
十進制
10基數中所有單位數{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9}都是迴文數。
兩位迴文數有9個:
- {11、22、33、44、55、66、77、88、99}
三位迴文數有90個:
- {101、111、121、131、141、151、161、171、181、191、…、909、919、929、939、949、959、969、979、989、999}
四位迴文數也有90個:
- {1001、1111、1221、1331、1441、1551、1661、1771、1881、1991、…、9009、9119、9229、9339、9449、9559、9669、9779、9889、9999}
小於104的迴文數共199個,小於105的迴文數有1099個,對其它的10的整數冪10n來說,分別有:1999、10999、19999、109999、199999、1099999、…(OEIS數列A070199)個迴文數。下表列出了一些常見類型的迴文數在這些10的冪為界限下的個數(其中包括將0也作為迴文數):
101 | 102 | 103 | 104 | 105 | 106 | 107 | 108 | 109 | 1010 | |
n為自然數 | 10 | 19 | 109 | 199 | 1099 | 1999 | 10999 | 19999 | 109999 | 199999 |
n為偶數 | 5 | 9 | 49 | 89 | 489 | 889 | 4889 | 8889 | 48889 | 88889 |
n為奇數 | 5 | 10 | 60 | 110 | 610 | 1110 | 6110 | 11110 | 61110 | 111110 |
n為完全平方數 | 3 | 6 | 13 | 14 | 19 | + | + | |||
n為素數 | 4 | 5 | 20 | 113 | 781 | 5953 | ||||
n為因數中不含平方數的數 | 6 | 12 | 67 | 120 | 675 | + | + | + | + | + |
n為可被某平方數整除的數(即μ(n)=0) | 3 | 6 | 41 | 78 | 423 | + | + | + | + | + |
n為素數的平方數 | 2 | 3 | 5 | |||||||
n有偶數個相異的素因子(即μ(n)=1) | 2 | 6 | 35 | 56 | 324 | + | + | + | + | + |
n有奇數個相異的素因子(即μ(n)=-1) | 5 | 7 | 33 | 65 | 352 | + | + | + | + | + |
n本身為偶數並有奇數個素因子 | ||||||||||
n本身為偶數並有奇數個相異的素因子 | 1 | 2 | 9 | 21 | 100 | + | + | + | + | + |
n本身為奇數並有奇數個素因子 | 0 | 1 | 12 | 37 | 204 | + | + | + | + | + |
n本身為奇數並有奇數個相異的素因子 | 0 | 0 | 4 | 24 | 139 | + | + | + | + | + |
n本身為偶數且因子中無平方數、有偶數個相異素因子 | 1 | 2 | 11 | 15 | 98 | + | + | + | + | + |
n本身為奇數且因子中無平方數、有偶數個相異素因子 | 1 | 4 | 24 | 41 | 226 | + | + | + | + | + |
n為奇數並有正好兩個素因子 | 1 | 4 | 25 | 39 | 205 | + | + | + | + | + |
n為偶數並有正好兩個素因子 | 2 | 3 | 11 | 64 | + | + | + | + | + | |
n為偶數並有正好三個素因子 | 1 | 3 | 14 | 24 | 122 | + | + | + | + | + |
n為偶數並有正好三個相異的素因子 | ||||||||||
n為奇數並有正好三個素因子 | 0 | 1 | 12 | 34 | 173 | + | + | + | + | + |
n為卡邁克爾數 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1+ | + | + | + | + |
n為滿足σ(n)是迴文數的數 | 6 | 10 | 47 | 114 | 688 | + | + | + | + | + |
其它基數
- 0、1、11、101、111、1001、1111、10001、10101、11011、11111、100001、…
以上這些數在十進制即0、1、3、5、7、9、15、17、21、27、31、33、…(OEIS數列A006995)。梅森素數是二進制回文素數的子集。
某基數的迴文數在另一基數通常不是迴文數,像1646110=404D16(下標數字表示基數,n16表示以十六進制寫出的n)。然而,有些數字在幾套進制都是迴文數(稱為「協回文」,copalindromic),如10510在五套不同進制都是迴文數:12214=1518=7714=5520=3334;十進制數1991在十六進制為7C7,也是回文。
7的一些冪在18進制是回文:
- 73= 111
- 74= 777
- 76= 12321
- 79=1367631
任何數n在所有b≥n+1的基數b都是回文(這時n是單位數);在基為n-1時同樣也是迴文數(這時n就成了11n-1)。如果對於2≤b≤n-2,某數在基b都是非迴文數,則稱其是嚴格非迴文數(Strictly non-palindromic number)。如6在二進制是110,三進制是20,四進制是12,都不是回文數,是嚴格非回文數。這樣的數其中一種特質是6以上的數都是質數,首幾項:1、2、3、4、6、11、19、47、53、79、103、… (OEIS數列A016038)。
參見
參考文獻
外部連結
- Jason Doucette-196迴文數探索 / 最終產生迴文數中迭代次數最多的(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- 196及其它利克瑞爾數(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- 10萬以下的迴文數(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)來自Ask Dr. Math