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嘉当矩阵

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在数学中,嘉当矩阵是由法国数学家埃利·嘉当引入的一类特别矩阵,最大的应用在于李代数的分类理论。在有限维代数的表示理论中,嘉当矩阵另有其它意义。

李代数

所谓广义嘉当矩阵是具有下述性质的方阵

  1. 各项皆为整数:
  2. 对角线上的项等于二:
  3. 非对角线项非正:
  4. 存在正对角方阵 使 可以写成 ,其中 是对称方阵。

第四个条件可由第一及第五个条件导出。在第五个条件中,若可取 为正定,则称 嘉当矩阵

若两个嘉当矩阵差一个排列矩阵的共轭:,则称两者同构。若一嘉当矩阵同构于分块对角的嘉当矩阵,则称之为可化的,反之则称为不可化

由半单李代数可以得到根系,对应的广义嘉当矩阵定义为

其中 是选定的单根。单李代数对应于不可化嘉当矩阵。

不可化嘉当矩阵可透过连通丹金图分类。具体方式是取 个顶点(n 为嘉当矩阵 的阶数),将顶点 条边相连。定义每个顶点的权 使得 ,若两个相邻顶点 的权不同,则规定边从权大者指向小者。这套模式类似于从根系定义丹金图的手法。

有限维代数的表示理论

对于域 上的有限维结合代数 ,考虑不可约、-有限维左 -模 ,对每个 ,存在唯一的不可分解左射影模 (至多差一个同构),使得 。取 合成列中作为合成因子的重数。方阵 称为 的嘉当矩阵。

参考资料