十二律

十二律是中国传统音乐使用的音律，后来逐渐传入到朝鲜、日本、越南等东南亚国家。律，本指用来定音的竹管，古人用十二个不同长度的律管，吹出十二个高度不同的标准音高，以定出音阶的高低，故这十二个标准音高也叫十二律。

中国古代以“三分损益法”定律，将十二个音逐个导出；而前五个音与主音的数学关系较为简单，同时也是常用音阶，故又与十二个音并称五音十二律。

音调

• 黄钟 - Huáng Zhōng - 主音/纯一度 - 1 : 1 - 播放^ⓘ
• 大吕 - Dà Lǚ - 半音 - 3⁷ : 2¹¹ - 播放^ⓘ
• 太簇 - Tài Cù - 大二度 - 3² : 2³ - 播放^ⓘ
• 夹钟 - Jiá Zhōng - 小三度 - 3⁹ : 2¹⁴ - 播放^ⓘ
• 姑洗 - Gū Xiǎn - 大三度 - 3⁴ : 2⁶ - 播放^ⓘ
• 仲吕 - Zhòng Lǚ - 完全四度 - 3¹¹ : 2¹⁷ - 播放^ⓘ
• 蕤宾 - Ruí Bīn - 增四度 - 3⁶ : 2⁹ - 播放^ⓘ
• 林钟 - Lín Zhōng - 纯五度 - 3 : 2 - 播放^ⓘ
• 夷则 - Yí Zé - 小六度 - 3⁸ : 2¹² - 播放^ⓘ
• 南吕 - Nán Lǚ - 大六度 - 3³ : 2⁴ - 播放^ⓘ
• 无射 - Wú Yì - 小七度 - 3¹⁰ : 2¹⁵ - 播放^ⓘ
• 应钟 - Yìng Zhōng - 大七度 - 3⁵ : 2⁷ - 播放^ⓘ

十二律分为阴阳两类，奇数六律为阳律，叫做六律；偶数六律为阴吕，称为六吕，合称律吕。一般所说的六律包括阴阳各六的十二律。

三分损益法

相传三分损益法为管仲所发明。

司马迁的《史记》“律书第三”中写到：“……九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。”

意思是取一根用来定音的竹管，长为81单位，定为“宫音”。然后将81乘上2/3，就得到54单位，定为“徵音”。将徵音的竹管长度54乘上4/3，得到72单位，定为“商音”。将商音72乘2/3，得48单位，为“羽音”。羽音48乘4/3，得64单位，为“角音”。而这宫、商、角、徵、羽五个音高，被称为中国的五音。

中国音乐中用来定音律的“三分损益法”的确立是考“中声”而量之以制。儒家的“中声”指音高、速度适中的有节制的音乐，“琴瑟尚宫，锺尚羽，石尚角，匏竹利制，大不逾宫，细不过羽”，要舍却弹奏中的“烦手”（复杂多变）。《左传》有鲜明排斥过度追求音响、速度变化的“淫声”、以能使人保持平和“中声”为美的思想。 “毕氏学派”中的“五度相生律”与三分损益法相似，但是五度相生律与三分益损法上下生成次序有不同，产生的音阶相对应为中国音阶中的燕调式，与中国流行的宫调式不同。

三分损益与十二律的相关物理

在声学中，声高指物体振动的频率。取一简单物体用来定音高时（如竹管、丝弦），则它的频率与其长度是成反比的关系。如果物体的材质固定，长度愈长，声音愈低。

除此之外，当长度减为一半时，频率将变为原先的两倍；长度增成为原先的两倍时，频率成为原先的一半。将这种互为二倍数的特殊比例，定义为彼此互为“八度音”。由此，便可以从九九八十一的长度出发，试算前述借由“三分损益”求得的长度，所得到的十二律（宫调）：

黄钟（C）：$81$ (n = 0)

林钟（G，由黄钟三分损而来）：${81\times {\frac {2}{3}}}=54$ (n = 0 + 7 = 7)

太簇（D，由林钟三分益而来）：${54\times {\frac {4}{3}}}=72$ (n = 7 - 5 = 2)

南吕（A，由太簇三分损而来）：${72\times {\frac {2}{3}}}=48$ (n = 2 + 7 = 9)

姑冼（E，由南吕三分益而来）：${48\times {\frac {4}{3}}}=64$ (n = 9 - 5 = 4)

应钟（B，由姑冼三分损而来）：${64\times {\frac {2}{3}}}=42{\frac {2}{3}}\approx 42.66666666667$ (n = 4 + 7 = 11)

蕤宾（F#，由应钟三分益而来）：${42{\frac {2}{3}}\times {\frac {4}{3}}}=56{\frac {8}{9}}\approx 56.88888888889$ (n = 11 - 5 = 6)

大吕（C#，由蕤宾三分益而来）：${56{\frac {8}{9}}\times {\frac {4}{3}}}=75{\frac {23}{27}}\approx 75.85185185185$ (n = 6 - 5 = 1)

夷则（G#/Ab，由大吕三分损而来）：${75{\frac {23}{27}}\times {\frac {2}{3}}}=50{\frac {46}{81}}\approx 50.56790123457$ (n = 1 + 7 = 8)

夹钟（D#/Eb，由夷则三分益而来）：${50{\frac {46}{81}}\times {\frac {4}{3}}}=67{\frac {103}{243}}\approx 67.42386831276$ (n = 8 - 5 = 3)

无射（A#/Bb，由夹钟三分损而来）：${67{\frac {103}{243}}\times {\frac {2}{3}}}=44{\frac {692}{729}}\approx 44.9492455418381344307$ (n = 3 + 7 = 10)

仲吕（F，由无射三分益而来）：${44{\frac {692}{729}}\times {\frac {4}{3}}}=59{\frac {2039}{2187}}\approx 59.93232738911751257430269776$ (n = 10 - 5 = 5)

清黄钟（黄钟的高八度音，由仲吕三分损而来）：${59{\frac {2039}{2187}}\times {\frac {2}{3}}}=39{\frac {6265}{6561}}\approx 39.954884926078341716201798506254$ (n = 5 + 7 = 12)

• 注意，最后一个“清黄钟”的长度39.9548849，与直接取“黄钟”长度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，这就是“黄钟不能还原”的问题。因为在连乘十二次 2/3 或 4/3 后，最后的值不可能达到原始的 1/2。${\frac {2^{6}\times 4^{6}}{3^{12}}}\approx 0.49327018427257211995310862353488$
• 另外，若在定律时不断地使用三分损益的操作，最后一定会出现除不尽的小数，使得在实际制作时容易产生误差。然而在现实上，准确度（Accuracy）与精密度（Precision）绝对有其极限，所以经过十二次的三分损益之后，已经可以构成一个（不甚完美）的音阶循环。这也是为何中西音乐理论中，都不约而同地发展出以“12音阶”为主流的原因。之后才会出现如纯律、十二平均律等不同的改进或修正方法。

从上面所计算出来的结果，对照《史记·律书》中的文字，便可发现当中的抄录错误。宋代沈括的《梦溪笔谈》，便记载了《律书》当中出现“七分”之类的文字，当为“十分”的误写。因此原文中的黄钟“八寸七分一”为“八寸十分一、81分”才合理。以下列出古音十二律与史记的文字记载比较，并附上与西方“参考音名”与“十二平均律的误差”计算。

中国音名	三分损益（由原文更正后）	西方音名	十二平均律	三分损益与十二平均律之偏差（%）
黄钟	81	C	81	-
林钟	54	G	54.0610	0.11
太簇	72	D	72.1628	0.23
南吕	48	A	48.1629	0.34
姑洗	64	E	64.2898	0.45
应钟	42.6667	B	42.9083	0.56
蕤宾	56.8889	F♯	57.2757	0.68
大吕	75.8519	C♯	76.4538	0.79
夷则	50.5679	G♯	51.0268	0.90
夹钟	67.4239	D♯	68.1126	1.01
无射	44.9492	A♯	45.4597	1.12
仲吕	59.9323	F	60.6814	1.23

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若不照音高排列，而是如上表照三分损益法排列十二律，则会发现其顺序与五度圈自C开始往顺时钟方向的音位排列恰巧一样。

音律与历法的配合

由于音律与一年中的月分恰好都定有十二个，于是在中国上古时代，人们便把十二律和十二月联系起来，又名十二月律。例如大秦景教流行中国碑中有“太蔟月”即正月。依照《礼记·月令》上的记载，它们之间的对应为：

孟春之月，律中太簇；
仲春之月，律中夹钟；
季春之月，律中姑洗；
孟夏之月，律中仲吕；
仲夏之月，律中蕤宾；
季夏之月，律中林钟；
孟秋之月，律中夷则；
仲秋之月，律中南吕；
季秋之月，律中无射；
孟冬之月，律中应钟；
仲冬之月，律中黄钟；
季冬之月，律中大吕。

所谓“律中”就是“音律的对应”，其征验的方法则是凭“吹灰”。据说古人将十二根律管里塞入葭莩的灰，只要到了某个月分，相对应的那一只律管中的灰就会自动地飞扬出来，这便是“吹灰候气”、“夷则为七月之律”等词汇的典故。当然以今日的观点，吹灰候气并没有现实的根据。

值得注意的一点，十二律中最基本的是黄钟，而中国历法最基本的则是含有冬至的月分。《月令》中所列出的，正是以黄钟对应冬至所在的仲冬月分——子月（大雪至小寒之月）。

另外，《周髀算经》提及由于中国古代使用天干地支，以六十年甲子为一个周期，而60又包含2、3、4、5、6、10、12、15、30、60等公约数，所以不同时期规律出现的天象，会在60年内集中重复，这些看似奇异的现象实际上是可以用数理逻辑解释清楚的。

延伸阅读

[在维基数据编辑]

《钦定古今图书集成·经济汇编·乐律典·律吕部》，出自陈梦雷《古今图书集成》

外部链接

• 戴振铎：〈广义三分损益律与朱载堉十二平均律及纯律的关系〉。
• 《史记》中记载的“律数”