請問不定方程 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 = f 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}=f^{2}} 是不是有無限多組兩兩相異且 ( a , b , c , d , e , f ) = 1 {\displaystyle (a,b,c,d,e,f)=1} 的正整數解?為什麼?
有勾股数 3 2 + 4 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+4^{2}=5^{2}} ,把 4 2 {\displaystyle 4^{2}} 拆成 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 {\displaystyle 2^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}} 得 3 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 + 2 2 = 5 2 {\displaystyle 3^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}+2^{2}=5^{2}} ,于是方程的其中一组正整数解是 ( 3 , 2 , 2 , 2 , 2 , 5 ) {\displaystyle (3,2,2,2,2,5)} ,解中的每个数同时乘以2, 3, 4...就能产生新的正整数解,所以这个不定方程存在无数多组正整数解。
抱歉!忘了這群不算太「平凡」的平凡解,待我增修一下題目。 附帶一提, 5 2 + 6 2 + 6 2 + 6 2 + 6 2 = 13 2 {\displaystyle 5^{2}+6^{2}+6^{2}+6^{2}+6^{2}=13^{2}} 7 2 + 12 2 + 12 2 + 12 2 + 12 2 = 25 2 {\displaystyle 7^{2}+12^{2}+12^{2}+12^{2}+12^{2}=25^{2}} 9 2 + 20 2 + 20 2 + 20 2 + 20 2 = 41 2 {\displaystyle 9^{2}+20^{2}+20^{2}+20^{2}+20^{2}=41^{2}} 11 2 + 30 2 + 30 2 + 30 2 + 30 2 = 61 2 {\displaystyle 11^{2}+30^{2}+30^{2}+30^{2}+30^{2}=61^{2}} 等等其實也可以吧!?但就沒有什麼意思了。我覺得這些都算是trivial。