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海伦公式

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海伦公式(英语:Heron's formula或Hero's formula),又译希罗公式[1]。由古希腊数学家亚历山大港的海伦发现,并在其于公元60年所著的《Metrica》中载有数学证明,原理是利用三角形的三条边长求取三角形面积。亦有认为更早的阿基米德已经了解这条公式,因为《Metrica》是一部古代数学知识的结集,该公式的发现时间很有可能先于海伦的著作。[2]

假设有一个三角形,边长分别为,三角形的面积可由以下公式求得:

,其中

中国南宋末年数学家秦九韶发现或知道等价的公式,其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段,有三斜,其小斜一十三里,中斜一十四里,大斜一十五里,里法三百步,欲知为田几何?”答曰:“三百十五顷.”其术文是:“以小斜幂并大斜幂,减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实,一为从隅,开平方,得积。”若以大斜记为,中斜记为,小斜记为,秦九韶的方法相当于下面的一般公式:

,其中

像其他中国古代的数学家一样,他的方法没有证明。根据现代数学家吴文俊的研究,秦九韶公式可由出入相补原理得出。

由于任何边的多边形都可以分割成个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

证明

利用三角公式和代数式变形来证明

与海伦在他的著作《Metrica》中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边的对角分别为,则余弦定理

利用和平方差平方平方差等公式,从而有

利用勾股定理和代数式变形来证明

用旁心来证明

中,

为内心,为三旁切圆。

四点共圆,并设此圆为圆

  1. 做铅直线交,再延长,使之与圆交于点。再过做铅直线交点。
  2. 先证明为矩形:,又(圆周角相等)。为矩形。因此,
  3. 内切圆半径旁切圆半径。且易知。由圆幂性质得到:。故

其他形式

海伦公式可改写成以幂和表示:

[注 1]
证明

海伦公式略为变形,知

多次使用平方差公式,得

等号两边开根号,再同除以4,得

注释

  1. ^ 应用实例,如外森比克不等式的证明

资料来源

  1. ^ 香港大學教育學院母語教學教師支援中心:數學科詞彙表. [2009-07-06]. (原始内容存档于2009-06-16). 
  2. ^ Weisstein, Eric W. (编). Heron's Formula. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2009-07-06]. (原始内容存档于2015-09-05) (英语). 

参见

外部链接